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étendue au volume compris entre S et S'. Ui- cette intégrale est la somme 

 de deux autres, dont la première est 



(3) ///:(«. 0.g()^.,... 



et dont la seconde est trouvée de suite égale à 1\t.(\' -— 1). On en conclut 

 que l'intégrale (3) ne dépend pas de la position de A; or, supposons main- 

 tenant X' = X H (11, cette intégrale se réduira à 



/7, 



v'm'-m<f)"' 



» Donc l'intégrale double étendue à S, qui multiplie d\, ne dépendra pas 

 de la position de A. Il en résulte que les deux lois de densité exprimées par 



d'f d^f d-f 



Jm'-^m-^jfs- et d£ z^ ^ 



V \dx) \dyj \dzj / (yy-y /^Y /^^\2 



V ^~ox) "^U.y/ 



dz 



donnent, pour une couche étendue sur S, une action nulle sur un point 

 intérieur. 



» Le rapport de ces deux expressions doit donc être constant sur chaque 

 surface; il est donc seulement fonction de y. On a, par suite, 



d^f , à-f , d-f 



dx' df- ' dz- 



m-iïhiM^- 



c'est-à-dire que les surfaces sont isothermes. Le théorème de M. Bertrand 

 est donc démontré. « 



M. J. Bertrand présente à ce sujet les remarques suivantes : 



« J'ajouterai à la Note précédente la démonstration que j'avais donnée à 

 mes auditeurs du Collège de France, en les invitant à en chercher une 

 plus rigoureuse. 



» Soient S,, S^, . . ., S„ des surfaces infiniment voisines satisfaisant à la 

 condition donnée par l'énoncé. La couche attirante, sans action sur les 



