( 9»7 ) 

 puis plus tard par M. Poincaré pour d'autres cas ne rentrant pas dans ce 

 cas normal. Mais on peut se demander ensuite si toute fonction analytique 

 régulière dans un de ces champs est effectivement développable en série 

 de cette forme, et dans le cas affirmatif, en chercher les coefficients. Il est 

 à peine nécessaire d'insister sur l'intérêt que présente cette question, 

 qui n'a été résolue jusqu'ici que pour quelques systèmes particuliers de 

 fonctions yj„ (a;). J'expose, dans cette Note, quelques résultats obtenus à 

 ce sujet, en me bornant aux cas les plus simples. 

 » 1. Soit une équation différentielle linéaire 



( i ) R,„ (X, Y) ^: -h R,„_, ( .v,y) j^^ + . . . + R, ( ^, r ) -^-J + R„ ? = o, 



dont les coefficients ï\,,i x, y ) sont^des polynômes entiers, du degré ex- 

 primé par l'indice, par rapport à y, et du degré /> par rapport au para- 

 mètre X. 



» Je suppose en outre que, pour toute valeur de x, on ait 



(2) R,„(a7, o) = i. 



» Il existe, par conséquent, pour toute valeur finie de x, un développe- 

 ment en série de l'intégrale de l'équation ( i ), de la forme 



(3) ?(>.r)=^2/'«*^'^^->'"' 



où les m premiers coefficients sont arbitraires. La série (3) est la. /onc- 

 tion génératrice du système de fonctions/>,j(a;). En choisissant les coeffi- 

 cients arbitraires 



(4) p„{x) = i, p^{x) =pi(x) = ...=p,„^,(x)=o, 



et par suite de l'hypothèse (2 ), ces fonctions /j„( a;) sont des polynômes 

 entiers en x. 



» Si l'on indique par a( .x) la racine de l'équation 



dont le module est minimum, on sait qu'en général on a 



en outre, les fonctions/;,, (r) sont liées par une équation récurrente de la 



