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 forme 



(.5) A„(/()/>„^,„-+- A, (n, a;)/)„^,„_, H-...+ k,„{n.x)p^=o, 



où les coefficienls A^(«, x) sont entiers, du degré m en n et du degré p 

 en x; je poserai 



A;/ n, X ) -rz af,_„_^ + «A.„,, ^î' H • • • - au.n.pX^- 



« A l'équation récurrente (5) on peut adjoindre l'équation analogue, 

 où le paramètre x est remplacé par z, 



(6) A„/« - m)q„_,n^ k,{n — m-^ \,z)q^_„^, +...-I- A,„( n, z)7„= M„, 



où le second membre est supposé nul si ii^m. 



» Cette équation détermine un système de fonctions (/„(z ), adjointes 

 ap„(x). 



>: Si maintenant on forme les séries 



(1=0 



(k = l, 2, 3, . .., p), 



dont je chercherai plus loin les conditions de convergence, un calcul assez 

 simple permet de trouver que ces développements vérifient l'identité 



(3 - aj)S, + (3" - x^)S,-^...+ (zP- xP)Sp=M,p„ + . . . + M,„_,/7„_,, 



et puisque l'on a fixé plus haut les valeurs des fonctions arbitraires p^, 

 p,, . . . , p,„-, , on peut écrire 



ij) r^ ^ ^^[S, -^ { z + x)S, + . . .-h (y-' + zP-^ +. . . + xP-\)S,\. 



)) Telle est la formule que je me proposais d'établir. On en déduit d'a- 

 bord que, si l'équation (i), ou, ce qui est la même chose, l'équation (5) 

 contient le paramètre x au premier degré, on aura 



» Cette dernière formule, comme on le voit aisément, renferme comme 



cas particuliers les développements de _ _ en série de polynômes de Le- 



gendre, donnée par M. Cari Neumann, en série de produits partiels d'un 

 produit d'un nombre infini de facteurs binômes, donné par MM. Frœbe- 



