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que les concurrents en traiteraient à fond et jusqu'au bout toutes les 

 j)arties. On n'y arrivera que par une longue suite d'efforts auxquels bien 

 des travailleurs devront participer. 



Deux voies s'ouvraient au chercheur : ou bien prendre une question 

 spéciale et l'approfondir; ou bien essayer de s'élever assez haut pour tout 

 voir d'un coup d'œil. 



Choisir la première, c'eût été, quel que soit le paradoxe, rester super- 

 ficiel. Ici, en effet, le secret profond qu'il importe de pénétrer, c'est bien 

 moins la solution de tel problème particulier que la connaissance des liens 

 intimes qui le font dépendre des problèmes voisins. 



L'auteur de l'unique Mémoire présenté au concours a préféré la se- 

 conde voie; c'était se résigner à poser plus de questions qu'il n'en résou- 

 drait; mais on n'est inventeur fécond qu'à ce prix. 



Les cycles d'une courbe algébrique, ou plutôt de sa surface de Riemann, 

 sont susceptibles d'une double généralisation; les surfaces algébriques 

 peuvent posséder en effet des cycles linéaires et des cycles à deux dimen- 

 sions. 



De même, les intégrales abéliennes peuvent se généraliser de deux ma- 

 nières : par les intégrales de différentielles totales et par les intégrales 

 doubles. 



L'auteur arrive d'abord à un résultat bien inattendu et bien digne d'in- 

 térêt. 



Si une surface algébrique est la plus générale de son degré, elle ne 

 possède aucun cycle linéaire, ni par conséquent aucune intégrale de diffé- 

 rentielle totale de première ou de seconde espèce. Ce n'est que la pré- 

 sence de certaines singularités qui pourra faire apparaître ces cvcles et 

 ces intégrales. 



Quand ces intégrales existent, on peut démontrer à leur sujet certaines 

 propriétés qui rappellent par leur forme les propositions analogues de la 

 théorie des courbes; par exemple, le nombre des intégrales de seconde 

 espèce est égal à celui de leurs périodes. 



Si une surface n'a pas en général de cycle linéaire, elle aura au con- 

 traire, en général, des cycles à deux dimensions; mais il ne parait pas y 

 avoir de relation simple entre le nombre de ces cycles et le genre de la 

 surface. 



Dans cette étude, l'auteur fait usage d'une équation différentielle li- 

 néaire et ramène la détenninalion des cycles, qui est luic question de 



