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 Géométrie de situation, et celle des intégrales abéliennes, qui est une 

 question de Calcul intégral, à l'étude complète du groupe de cette équa- 

 tion. 



Pour compléter la théorie, il fallait encore s'occuper des transforma- 

 tions birationnelles des surfaces. Après avoir donné une règle générale 

 pour reconnaître si deux surfaces peuverit se transformer l'une dans 

 l'autre, l'auteur s'attache surtout aux transformations des surfaces en 

 elles-mêmes. Il énumère les divers cas qui peuvent se présenter et ramène 

 les groupes de transformations birationnelles à un petit nombre de types. 

 Il remarque, en passant, une différence très considérable entre les sur- 

 faces et les courbes algébriques : une transformation d'une surface en une 

 autre peut être biuniforme sans être biralionnelle. 



Le Mémoire se termine par diverses applications des principes précé- 

 dents à l'intégration des équations différentielles; si l'intégrale générale 

 d'une équation du second ordre est uniforme, il arrivera souvent que 

 l'équation différentielle ne sera pas altérée par certaines transformations 

 birationnelles et que l'intégration deviendra possible. Deux difficultés 

 se présentent toutefois : une intégrale peut être à apparence uniforme 

 sans être uniforme; une transformation peut être biuniforme sans être 

 birationnelle. Ces difficultés ne sont pas résolues, mais c'était déjà un 

 mérite de les signaler avec précision. 



En résumé, chacun des cincj Chapitres de ce Mémoire contient une dé- 

 couverte importante qui réalise, comme le demandait l'Académie, un 

 progrès notable dans nos connaissances sur les fonctions algébriques de 

 deux variables. Sans doute, si le plan de l'édifice futur est nettement 

 conçu et nettement exposé, l'édifice lui-même est loin d'être entièrement 

 construit; mais la Commission ne peut s'en étonner, car elle sait que c'est 

 une œuvre de longue haleine qui exigera encore beaucoup d'efforts; aussi 

 propose-t-elle de décerner le grand prix des Sciences mathématiques au 

 Mémoire n° 1, portant pour épigraphe : Jiival intégras accedere Jantes. 



Les conclusions de ce Rapport sont adoptées. 



Conformément au Règlement, M. le Président procède à l'ouverture du 

 pli cacheté accompagnant le Mémoire couronné et proclame le nom de 

 M. Emile Picard. 



