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GÉOMÉTRIE. — Sur une propriété cl' involution commune à un groupe plan de, 

 cinq droites el à un système de neuf plans. Note de M. Paul Serret. 



« La propriété établie pour un groupe plan quelconque de cinq droites 

 a-t-elle son analogie dans la figure formée de neuf plans quelconques 



P P P ? 



r,, lo' •••' '^!f 



)> En d'autres termes, 



D,, D, Dç, 



désignant les diamètres communs aux surfaces du second ordre inscrites 

 aux neuf plans actuels 



twojVi^ le i" P, ou le 2^ Pj, ..., ou le dernier P^, 



les droites D,, déjà concourantes en d, représentent-elles, relativement à 

 une certaine surface auxiliaire du second ordre, de centre d, les dia- 

 mètres conjugués des sections parallèles aux plans correspondants P, ? 



» On peut répondre affirmativement à cette question, sinon dans le cas 

 général de neuf plans sans aucune dépendance réciproque, au moins pour 

 la figure formée de huit plans arbitraires P^, P^, ..., Pg, associés à un 

 neuvième plan P,j dont la direction dépend des directions des huit autres. 



» L'analogie énoncée sous forme interrogative subsiste, en effet, pour 

 \e, système formé de neuf plans parallèles aux neuf plans tangents communs 

 à deux cônes concentriques de troisième classe. Et la surface auxiliaire So, 

 pour laquelle les droites D, représentent les diamètres conjugués des 

 sections parallèles aux plans P,, n'est autre, encore, cpie Vellipsoïde dérivé 

 cubiquemenl des neuf plans actuels P,, ...,P9, ou compris, accidentelle- 

 ment, dans la forme 



(i) o = l\\,V\^^ax"+ aV+«"r.- + ...EE^/(.T, y, r.) 



abaissée au second degré à l'aide des coefficients. 



» On doit remarquer d'ailleurs que la réduction au second degré de la 

 forme précédente, qui eût exigé, normalement, la présence sous le signe i 

 de onze fonctions linéaires P,, . . ., P,,. sera néanmoins assurée ici, pourvu 

 que les neuf plans actuels P,, .. ., Pg étant transportés parallèlement à 



