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 et, considérant dans le plan (^cc, y) un contour C, nous nous proposons de 

 trouver le nombre des racines, communes aux équations (i), contenues 

 dans C. Ces racines sont d'ailleurs supposées simples. 



» Nous formons, à cet effet, le système des quatre équations 



f(x,y) = o, 

 'ù(x,y) = o, 



aa: or 



d.v ôy 



aux quatre inconnues x, y, z-, t, et nous considérons dans l'espace à quatre 

 dimensions {se, y, z-, t) l'eiisemble des valeurs de ces variables correspon- 

 dant à des points (*, J') situés dans C et à des valeurs de :; et ï comprises 

 lespectivement entre — s et + s d'une part, — -^ et 4- ■/] d'autre part (en 

 désignant par s et vi deux constantes positives arbitraires). Cet ensemble 

 définit un domaine D, et le nombre des racines du système (2), contenues 

 dans ce domaine, sera précisément le nombre que nous cherchons. Or, le 

 déterminant fonctionnel des quatre fonctions formant les premiers mem- 

 bres de (2) se réduit à la quantité essentiellement positive 



' (El ^ _ ^Z ^V' 



\dx- Oy ày àxj ■ 



)) I^a difficulté relative au signe du déterminant fonctionnel disparaît 

 donc, et l'on pourra, par suite, représentev par une intégrale triple le nombre 

 des racines hommnnes aux équations (] ) comprises dans C. Cette intégrale 

 triple se réduira d'ailleurs aisément à une intégrale double. 



» La solution précédente est théoriquement satisfaisante, mais le ré- 

 sultat trouvé dépend, en apparence, des deux arbitraires e et 71. Le dévelop- 

 pement du calcul montre qu'on peut représenter le nombre des racines 

 par la limite d'uns intégrale double où figure seulement une arbitraire e 

 qui doit tendre vers zéro. Ici se présente la question très intéressante de 

 savoir si, i^our obtenir cette limite, on peut trouver un mode de calcul, qui 

 serait l'analogue du théorème de Sturm, mais je n'ai pu jusqu'ici la ré- 

 soudre. , 



» Les Considérations qui précèdent, appliquées à la recherche du nombre 

 des raciries de l'équation /(a;) =; o comprises entre a et b, conduisent à 



