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 entrent dans le changement de variables et de fonction pour simplifier 

 l'équation (i) et y faire disparaître trois termes. On fera disparaître les 

 termes carrés par rapport aux dérivées partielles en faisant le changement 

 de variables 



si les fonctions A' et W sont des solutions de l'équation 



a/r -f- 2 bpq -(- cq"^ = o, 

 qui doivent, toutefois, correspondre à des déterminations différentes du 

 rapport — ■ 



» On ramène ainsi l'équation (i) à la forme 



(2) 2B,P,Q, + 2D,P, + 2E,Q,H-F, =0. 



La détermination des nouvelles variables X, Y en fonction des x et y com- 

 porte, comme on le voit, deux fonctions arbitraires. On en voit a priori la 

 raison : quelle que soit la forme réduite que l'on considère, elle ne sera 

 pas altérée par un changement de variables, tel que 



(3) X' = ^-(X). Y'=g(Y). 



» Cela fait, un changement de fonction z = Z -h T permettra de rame- 

 ner l'équation à la forme 



(4) PQ = MP-4-N. 



Dans cette réduction, la fonction T n'est déterminée que par sa dérivée 

 dT 



partielle -r^ > et l'on a 



_ 2E,D.-B, F, dT D, 



^^ - ÏB|~ ' ^^^ - ~ ^- ~ B , ' 



en sorte que N est une fonction déterminée des coefficients de l'équa- 

 tion (2), tandis que l'on peut ajouter à M une fonction quelconque de la 

 variable nouvelle Y. 



» II. On doit se demander maintenant si l'équation (4) peut être con- 

 sidérée comme canonique, et si la réduction précédente, avec les fonc- 

 tions arbitraires qu'elle comporte, est indépendante d'un changement 

 quelconque des variables et de la fonction que l'on aurait préalablement 

 fait subir à l'équation (i). 



» C'est ce qui a lieu en effet, et ce que l'on conclura facilement de la 

 remarque suivante. En multipliant par B, les deux termes de (4), on obtient 



