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i où l'or 



(B5-A,C,r 



l'invariant- '- ^, où l'on suppose A, = C, = o, et, par conséquent, 



J 



i 



l'expression de N en l'onction de a: et y est ^ , A désignant le 



déterminant fonctionnel du changement de variables. De même, -^ est une 

 fonction de X et de Y qui coïncide avec l'invariant H, changé de signe, et 

 qui a pour expression — - en fonction des variables primitives x et y. 



» Dans le cas où l'invariant H est nul, l'équation canonique est PQ = N. 

 Elle ne comporte que les deux fonctions arbitraires qui résultent d'un 

 changement de variables tel que (3). 



» III. Les équations aux dérivées partielles qui admettent une intégrale 

 de la forme 



e- = u -h Cv ~\~ C-w, 



où u, r, »' sont trois fonctions quelconques de x et y et C une constante 

 arbitraire, appartiennent à la catégorie des équations pour lesquelles 



H = o. L'équation canonique correspondante est PQ + -^, — ^r^ = o. 



)) Les équations aux dérivées partielles admettant une intégrale de la 

 forme 



(:; - iiy(z - çfÇz - wy = const. 



appartiennent à la catégorie générale dont l'équation canonique est (4). 

 Cette équation canonique prend une forme très simple lorsque l'on sup- 

 pose que la somme des exposants a, (3, y est nulle et que deux d'entre eux 

 sont égaux ; elle est 



PQ + 3 v^XP + Y = o. 



» On peut chercher aussi ce que doivent être les fonctions M et N pour 

 que l'équation canonique admette une intégrale du premier degré 



aP -t- PQ + Y = const. 



Le résultat est tout à fait analogue à celui que l'on trouve dans la re- 

 cherche des lignes géodésiques. L'équation a l'une des deux formes sui- 

 vantes 



PQ = (Î)(Y -X)P + F(Y-X), PQ = X<Ï>(Y)P + F(Y). 



» IV. Lorsque b'- — ac = o, la réduction précédente n'est plus appli- 

 cable. On peut ramener l'équatiou à la forme réduite p- — >.y = o. La 

 disparition du terme indépendant de p el q exige que l'on emploie une so- 



