( im ) 



» G dépend de 2n + i — p arbitraires et possède 6p + 2(/i — 3; points 

 » d'inflexion. Entre les coefficients de/(x) existent n + 2/? relations dont 

 » n expriment que n points d'inflexion de g sont à l'infini. » 



» Dans sa Thèse, M. Picard a étudié les courbes nnicursales p = o, 

 dont les tangentes sont situées sur un complexe linéaire. Il a trouvé que la 

 condition nécessaire et suffisante pour avoir affaire à une pareille courbe 

 de degré n était que la projection eût n points d'inflexion à l'infini; la 

 courbe avait elle-même 2(« — 3) points d'inflexion. On voit aisément 

 comment ces résultats se rattachent aux nôtres. 



>) Les identités (3) et (4) sont aussi les conditions nécessaires et suffi- 

 santes pour que l'intégrale abélienne, attachée à la courbe g. 



■r- 



soit une fonction rationnelle; on a alors 



3 



W = a - + A. 



- étant définie par l'égalité (2) ci-dessus et a et 6 étant deux constantes. 

 » La théorie des connexes permet de ramener à un problème de Géo- 

 métrie plane la construction de l'intégrante G et de sa projection g. Il 

 faut construire un connexe de classe un et de degré n — i 



^«,0,(.r) = o (t = i,2, j) 



i 



et une courbe/— o de degré n ayant les relations mutuelles suivantes, au 

 nombre de deux : 



« 1° Un point quelconque x du plan complété par sa polaire linéaire 

 » par rapport à g, f= o, forme un élément de 0. » 



» 2° Soit 0„ la courbe de degré n — i, qui correspond dans le connexe 0, 

 en vertu de règles connues, à la droite u de coordonnées ;/,. Pour un point 

 quelconque x du plan, il existe trois droites v, qui coïncident avec la po- 

 laire linéaire de x par rapport à 9^. Appelons : 



9 le point ayant pour coordonnées 9,(j7); 



(p le point à l'infini, .r., := o, de la droite xH; 



a, p, y les points où la droite x^ est coupée par les trois dr oites; 



T la somme des trois rapports anharmonii|ues x'fHx, ^'i^^x, y'û9.c. 



