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» La seconde condition est celle-ci : « Le lieu des points x, pour les- 

 )) quels T = I , est une des premières polaires de g. » 



» Toutes ces propriétés sont projectives, pourvu que la droite de l'infini 

 reste fixe. 



» Passons maintenant aux propriétés des intégrantes tracées sur une 

 surface algébrique S. 



» Par un point quelconque de S passe une intégrante et une seule. Soit 

 F(z,,z.^, :-3,Zt) = o l'équation de J, de degré N. L'intégrante n'est plus 

 unique pour les N(N^ — 2N -r- 2) points nodaux définis par les équations 



_ £1 _^_ Pi _ Jh __ E}^ „. _ <^Z.. 



» Considérons en un nodal :; de coordonnées zj le quotient — Iv des 

 racines de l'équation quadratique en S 



[S - p=(N -i)]*-^H, H =. hessien de F ; 



les intégrantes aux abords du nodal se comportent sur J* comme les courbes 

 planes 0^"'"= const. aux abords de l'origine; les directions Evi = o corres- 

 pondent aux asymptotes de l'indicatrice en z. 



» L'analogie des faits analytiques porte à introduire le langage usité 

 par M. Poincaré dans ses dernières recherches sur l'équation du premier 

 ordre et du premier degré. Ainsi K est V exposant du nodal z; si toutes les 

 intégrantes sont algébriques, l'intégrale générale de l'équation représentée 

 par £ est algébrique, R en chaque nodal est réel et commensurable; le 

 nodal est un nœud si K est positif, un cul si K est négatif. Lorsque 

 nfc R = la fraction irréductible X ! \j., 'k &\. \j. sont les entiers caractéristiques 

 du nodal. 



» Une intégrante algébrique G, située sur S , ne peut avoir de point mul- 

 tiple qu'en un nodal. L'intégrante algébrique générale (celle qui corres- 

 pond à une valeur quelconque de la constante arbitraire) © ne passe par 

 aucun col. Si S n'a que des cols, © est dépourvue de points multiples et 

 les considérations du commencement de la présente Note s'appliquent. 



•» Reprenons l'intégrante quelconque algébrique G de degré n et de 

 genre/;, située sur S . On a la relation 



(5) n{^ N - 4 ) ^ 6/) -1- i{n — 3) -^ 2x, 



1 s'étend aux N(N^ — 2N + 2) nodaux de # et o. désigne le nombre de 

 points d'intersection, confondus au nodal considéré, de G avec la courbe 



