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qui décrit la surface, et lié comme on voudra à la génératrice G; par 

 exemple, on prendra le trièdre naturel formé par la tangente, la normale et 

 la binormale, si aucune dé ces droites n'est isotrope, ce qui est le cas le 

 plus ordinaire. Supposons-nous dans ce cas, et soit j9, o, r, c,, o, o les ro- 

 tations et translations de T lorsque a = const. ; />,, ç,, r,, l,, r,,,K, les 

 mêmes quantités quand t — const. On a, entre ces quantités, les six rela- 

 tions connues. Soit encore a, a', a", h, h', h", ... les cosinus directeurs 

 des axes de T par rapport à des axes fixes, x, y, z les coordonnées de M 

 par rapport à ces axes. On a 



dx Y à y ,Y àz 



= «^.. T7 



dt ~""' dl — - - ^; 



^ =a"E 



et les relations telles que 



» Il est d'ailleurs permis de supposer qu'au point M, ^ = o, x ayant une 

 valeur quelconque a„. On peut alors développer les rotations et transla- 

 tions de T suivant les puissances entières croissantes de t. Pour cela, pre- 

 nons comme trièdre fixe oxyz la position U qu'occupe T quand .son origine 

 est en M(^ = o, a = oc^). Soit X, Y, Z les coordonnées, par rapport à U, 

 d'un point qui décrit la génératrice oc = a„. Supposons développées X, 

 Y, Z suivant les puissances entières de t; les relations ci-dessus conduiront 

 alors aux développements correspondants des cosinus directeurs et de \, 

 p, r. En particulier, si l'on a posé 



x = r().+ s), Y = r*"(i^4-£,)' z = r"'""('' + ^:i,> 



il eu résulte 



l = r-' (//A-f- o.). /•= i"-' V'— 



niK 

 '){in + /t+ II') 

 ("1+ II) 



( «i + /O 



-(- co. 



OJ , 



n et n' sont des entiers au moins égaux à i ; si /w est > t , le pomt M est de 

 rebroussement sur G ; si « > i , il est d'inflexion ; si n' > i , il est station- 

 naire; dans le cas particidier d'une ligne G plane, on peut regarder n' 

 comme infini; on prendra Z = />= o. 



« Quanta p,,q,,i\,l^,r,,'C,, ils seront déterminés, une fois données 



