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leurs valeurs initiales pour ^ == o, et on formera facilement leurs dévelop- 

 pements. 



» Ceci posé, soit, par exemple, à étudier l'équation des lignes asym- 

 ptotiques. Les coefficients s'expriment aisément avec les rotations et trans- 

 lations de T. Par conséquent, on pourra les développer par rapport à t, et 

 ces développements feront connaître dans quels cas et comment l'équa- 

 tioTi admet un facteur ip, p étant un entier quelconque, ou encore comment 

 ^^ o est une solution singulière. 



» Si l'on étutlie les lignes tracées sur la surface, que l'homographie ne 

 conserve pas, on modifiera convenablement la méthode, soit par un autre 

 choix du trièdreT, si le long de /= o une des arêtes du trièdre naturel G est 

 isotrope, soit par une transformation préalable de la surface, comme, par 

 exemple, une inversion s'il s'agit des lignes de courbure ou de longueur 

 nulle, lorsque i = o est à l'infini. 



» Cette méthode permet de retrouver aisément et de relier entre eux 

 bien des résultats connus; elle en donne encore d'autres, qui nous pa- 

 raissent nouveaux, et parmi lesquels nous citerons les suivants, à titre 

 d'exemple : 



)) i" Les lignes asymplotiques des surfaces engendrées par une conique 

 qui reste tangente à une droite et à quatre plans tangents fixes s'obtien- 

 nent par quadratures. 



» 2" Il en est de même de celles des surfaces engendrées par une cu- 

 bique gauche ayant quatre points et une tangente fixe, ou quatre points et 

 deux plans osculateurs fixes, ou quatre points fixes et une enveloppe plane 

 dont le plan reste constamment osculateur à la cubique. 



» 3° Les seules surfaces cerclées pour lesquelles les points critiques de 

 l'intégrale de l'équation des lignes de courbure puissent être fixes sont 

 celles, ou qui admettent une enveloppe de leurs génératrices circulaires, 

 ou sur lesquelles sont tracées deux lignes telles que chacune soit, ou une 

 ligne d'ombilics, ou une ligne de courbure double i +/>- -{- q'^=o. Si, en 

 outre, la génératrice circulaire s'appuie sur quatre droites isotropes, les 

 lignes de courbure s'obtiennent par quadratures. » 



MÉCANIQUE APPLIQUÉE. - Théorie des turbo-machi nés . Note de M. Râteau, 

 présentée par M. Haton de la Goupillière. 



« Dans ma dernière Communication à l'Académie, j'ai défini une classe 

 spéciale d'appareils, les turbo-inachines, doni je fais une étude d'ensemble. 



