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des fonctions formant les premiers membres des équations. Sans modifier 

 le principe de la méthode que j'ai indiquée, on peut simplifier celle-ci no- 

 tablement au point de vue des applications. Soit 



iy I (^ J7, , a.\ , . . . , x„ j = o , 

 J II V "^1 » "^i , . . . . x,j J = o 



un système de n équations. Nous voulons trouver le nombre des racines 

 communes à ces n équations, contenues dans un domaine A de l'espace 

 à /i dimensions (j?,, x,, ..., x,^. Ces racines sont, d'ailleurs, supposées 

 simples. 



Désignant par D le déterminant fonctionnel de ces n fonctions, j'envi- 



sage les n + I équations 



(^) 



/. =0, 



/o=0, 

 î 



/« = o, 

 sD =0, 



aux « -I- I inconnues x^, x.,, . . ., x^, z. Considérons dans l'espace à « 4- i 

 dimensions (^x^,x.,, ...,.r„. ;) l'ensemble des valeurs de ces variables 

 correspondant à des points (a;,, x,,^ .... a-„) contenus dans A et à des va- 

 leurs de 3 comprises entre — s et -1- £ (s désignant une constante positive 

 arbitraire). Cet ensemble définit un domaine A' et le nombre des racines 

 du système (2), correspondant à des points de ce domaine, sera précisé- 

 ment le nombre des racines du système (i) contenues dans A. Or le déter- 

 minant fonctionnel des ii -\- i fonctions formant les premiers membres 

 des équations (2), se réduit à la quantité essentiellement positive D". La 

 difficulté relative au signe du déterminant fonctionnel a donc disparu, et 

 l'on pourra, par suite, représenter, par une intégrale multiple d'ordre n, le 

 nombre des racines communes aux équations (i) contenues dans A. 

 » En appliquant ces considérations au cas de deux équa|ions 



/(.r, j) = o, 



on trouve le [résultat suivant pour le nombre des racines communes à ces 

 deux équations contenues dans un contour C. 



