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R, ne contenant pas d'autres variables que c.,, p,; *3> f^sî =^1» •••> ces 

 équations ont l'invariant intégral positif d'ordre l\n (n étant le nombre 

 des planètes considérées) 



I := / da^ doL^ d'^2 ^?>3 d<x„ 



» On sait, de plus, que les équations séculaires admettent l'intégrale 



imy/(M + m)a{\ — e") costp = const. 



» Si donc, comme je le suppose, les masses des planètes considérées 

 sont du même ordre, leurs excentricités et leurs inclinaisons ne pourront 

 jamais acquérir de valeurs notables. Toutefois, il ne s'agit ici que des va- 

 leurs séculaires et non des A^ais éléments. 



» Je fais maintenant dans les équations (3) le changement de va- 

 riables (4) 



I h = a, sm(^., + p,), /» = 5 sinp,, 



/^ X3 cos((3o-+- ps), y = — cospo. 



(4) 



)) Le déterminant fonctionnel de h, l, p, q en 7..,, fi»; '"s» Pa ^^t au signe 



près ( — j ou ( — ; j et, comme cp reste petit, ce changement de variables 



est doublement univoque. Donc les équations en h, l, p, q; h' . . . ont aussi 

 un invariant intégral positif. 



» Des équations (2) et (4), on déduit A, l, p, q, . . ■ en fonction de e, ç, 



0, CJ 



(A 



(5) 



/: 



sinô, 

 cos6. 



» Doue A, /, p, q restent finis. 



» Et, par conséquent, d'après un théorème de M. Poincaré sur la sta- 

 bilité, si les conditions initiales ne sont pas exceptionnelles, les quantités 

 h, l, p, q; h', /', ... reprendront une infinité de fois, sinon Jles valeurs ini- 

 tiales, du moins des valeurs aussi voisines que l'on veut delces valeurs ini- 

 tiales. Et, d'après les équations (5), il en est de même de i, ç, 6, xs;e' 



-» Donc, en ne considérant que des planètes dont les masses sont du 

 même ordre, il y a stabilité au sens de Poisson pour les variations séculaires 

 de leurs excentricités et de leurs inclinaisons. 



