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dy 



rithmiques — y- sont les fonctions rationnelles de x ou démontrer que 



dy 



y djc 

 ne peut être une fonction rationnelle de x. 



y d.^ 



» En supiîosant -~- décomposé en fractions simples en déterminant les 



y ax 



différents membres de cette décomposition, on trouvera un nombre fini 

 des fonctions rationnelles 



de X, telles que l'une des différences 



dy 



y 



dx 





dl_ 



y dx 



^i.\.. 



ày 



Y dx 



^ n 



du 



doit être la dérivée logarithmique —y- d'une fonction entière inconnue // 



de X. Cela étant la question posée se réduit à la détermination d'une fonc- 

 tion entière u satisfaisant à l'équation différentielle linéaire facile à 

 trouver. 



)) Les exemples suivants servent à expliquer la chose 



d-y 



(0 



Posant 



dy 

 ydx 



dx"- 

 z, on trouve 



dz 

 dx 



( 



X' 



iy.x — i)j. 



l^x'' 



I ^X — I 



et ensuite 



o • 



z = — 'J.X -\- Ô -\ h - 



X — C, .) 



La fonction u satisfait à l'équation 



+ . . = — 2,'r H- 3 -f- 



du 

 Il dx 



-r-^ -h 3(5 — •2X)-. |-OM = o 



dx- ^ ^ dx 



et doit être entière si z est une fonction rationnelle de x. 

 » Cela étant, il est facile de trouver 



u^^x- — 3a; + 2 = (a; — i) (a; — 2), 



IX 



X — I x — 2 



y = e~-'''+'-'^(a: — 



\){x- 2), 



(2) 



X 



= ^_r, 



dx"" 



(.^■■ + ^)J. 



