( H39 ) 



M Soient ^r, ,3",, . . . . .r„, les coordonnées cartésiennes des points du 

 système et u la fonction des forces, h la constante de l'énergie. Je repré- 



ejji dXi dxi' \^= 2.(1 dt- , 



.1=2C, 



l'intégrale quadratique dont l'existence est supposée; e^, e,,- dépendent 

 des variables, et il est facile d'en trouver l'expression explicite, mais il 

 faut distinguer deux cas. Lorsqu'il doit exister une intégrale (i), pour une 

 certaine valeur seulement de la constante h, e/,, e,,- sont des polynômes du 

 quatrième degré en x,, Xo, . . ., x,„; ils satisfont aux conditions suivantes 



dxj d.Vj' dXi' dxi 



^ ^ i dXj' dXi dxi 



deu' de,'i. de,-, 



1 ^ "j ^ -^ — — O, 



s dXj- axi axi' 



qui les définissent, à des constantes près. Ces dernières doivent être 

 choisies de telle manière que la fonction u et ses dérivées des deux pre- 

 miers ordres vérifient un système d'équations linéaires, dont les coef- 

 ficients sont alors connus; e, se calcule ensuite par une quadrature. 



» Quand il doit y avoir, quelle que soit la constante h, une intégrale 

 semblable à (i), aux conditions (2) s'ajoutent celles-ci 



^ ' dXi dxc dxi dXi' 



et les polynômes e^, e,y s'abaissent au second degré. Il est commode, pour 

 ce cas, de présenter l'égalité (i) sous une forme un peu différente, 



( 4 ) MV ^ dxi "^ "" ( 2 ^' ^^/ "^ ^2 ^'■'" ^^' ^^'" ) = 2 C dt'' . 



(*l \ lu (i'l"| / 



» Les fonctions m et i> sont définies par les équations linéaires suivantes 

 /^s ai' „ du -^71 du 



au nombre de m. E,, s, ,« sont les polynômes du second degré les plus 



