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 généraux qui satisfassent aux identités (3) et (2) et à celles-ci : 



j^=o, E, — E,-=e,— e,-; 



leur expression explicite s'obtient sans aucune peine. On connaît depuis 

 longtemps une solution étendue de la question proposée; la fonction u 

 s'exprime pour elle d'une façon simple, en substituant aux variables a;,, 

 x^, ..., x„ des coordonnées elliptiques générales; cette solution n'est pas 

 la seule qui puisse s'obtenir; en voici une autre, moins particulière. Soit 





(0 



si l'on pose 



(6) u-hh=/(f)-h ^ ?(«,, xj. . .., «;„_,)' 



il y a, quelles que soient les fonctions arbitraires /et F, une intégrale du 

 second degré, qui diffère de celle des forces vives; c'est la suivante : 



(7) (u^hy-[df--^-^^dœr] = ^cdr-, 



et la fonction F peut être choisie de telle manière qu'il y en ait au moins 

 une autre encore; il faut, pour cela, que F vérifie une certaine équation 

 linéaire aux dérivées partielles du second ordre. 



» L'étude générale des équations (5) est liée à celle d'un système 

 d'équations différentielles 



E,- dxt-h'^eaàx,, E,-. clxj- -f-^ e,*- da-^^ 



dont la signification est visible et ne dépend pas du choix des variables. 

 En faisant ces hypothèses très particulières 



(9) e,-,- = 2C,-,'.r,a-,., E, = - 2 V C,,- ;r; + 2D,-, (/ - i' ^ o) 



et désignant par C„ , D, des constantes quelconques, j'ai pu effectuer l'in- 

 tégration complète du système (8); elle ne laisse guère douter des diffi- 

 cultés qui se rencontreraient dans le cas général. Yoici les résultats : une 

 première intégrale est donnée en écrivant que le déterminant symé- 



