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 où f est une fonction donnée, d'ailleurs arbitrairement, de u et v, la droite 



(6) X-^ Y-y^Z-^ 



V*^^ df dy dz^ 



du du du 



engendre une congruence H; et réciproquement, si l'on a une congruence de 

 cette espèce, les coordonnées des points de sa surf ace focale ç = const. vé- 

 rifient une équation de la forme (5). 



» Il est évident, a priori, que les coordonnées des points de la deuxième 

 surface focale de H satisfont à une équation analogue à (5); on le vérifie 

 en effectuant dans cette équation la substitution 



' du 



» Si, pour une forme particulière attribuée à la fonction/, on sait inté- 

 grer l'équation (5), le théorème précédent donne des congruences H dans 

 les équations desquelles interviennent six fonctions arbitraires d'une va- 

 riable; on en déduit des systèmes 5, puis des surfaces 2 rapportées à leurs 

 lignes asymptotiques et présentant le même degré de généralité. Je vais 

 montrer, en outre, que l'on peut, à l'aide de ces premiers résultats, en ob- 

 tenir une série d'autres. Effectivement, pour passer d'une congruence iH 

 à toutes celles de même représentation sphérique, il suffit d'intégrer, pour 

 la surface S, l'équation relative au système {u, v) en coordonnées tangen- 

 tielles; or on sait que cette intégration s'intègre en même temps que 

 l'équation (5), et cela quelles que soient les solutions de cette équation 

 qui ont servi à construire S; on obtiendra donc, sans changer t, des con- 

 gruences H' et des surfaces S' plus générales que H et S. Si, maintenant, 

 on forme pour l'une quelconque de ces surfaces S' l'équation ponctuelle 

 relative au système («, c), on aura une équation différente de l'équation (5), 

 mais s'intégrant en même temps qu'elle; on pourra donc, en opérant 

 comme plus haut, obtenir, pour H, n et 1, une série de résultats nouveaux, 

 et ainsi de suite, de proche en proche. 



» Comme exemple, je citerai le cas où/ est fonction de w seulement; 

 l'invariant K de l'équation (5) est alors nul, ce qui permet d'appliquer 

 les considérations précédentes. Un deuxième exemple est fourni par 

 l'équation E (B, B') dans le cas oii la différence entre B' et B est égale 

 à l'unité; on vérifie, en effet, que cette équation est alors de la forme (5). 



» Il est évident a priori (\yie les normales .à une surface minima forment 

 une congruence H. On en conclut que les systèmes sphériques orthogo- 



C. R., 1891, a» Semestre. (T. CXIII, N» 24.) I 12 



