( looG ) 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le nombre des racines communes à plusieurs 

 équations simultanées; par M. Kronecker ('). (Extrait d'une Lettre 

 adressée à M. Picard.) 



« Dans votre première Communication Sur le nombre des racines com- 

 munes à plusieurs équations simultanées (p. 356 des Comptes rendus), vous 

 avez fait mention de mes recherches sur les systèmes de fonctions de plu- 

 sieurs variahles en des termes qui peut-être ne font pas voir assez claire- 

 ment que ces recherches m'ont conduit à déterminer complètement ledit 

 nombre. Je crois donc devoir rappeler les résultats qui s'y rapportent. 



» Soient, comme dans mes Mémoires du 4 mars 18G9 et du 21 février 

 1878, F„„, F|o, . .., F„„ des fonctions réelles et monotropes des variables 

 réelles z^, z^, ..., s„, admettant des valeurs positives et négatives en 

 nombre infini. Je suppose, en outre, que les domaines F„o<;o repré- 

 sentent des variétés n''^""''' qui ne contiennent que des systèmes de valeurs 

 finies des variables s; de plus, qu'en général les dérivées partielles 



P ^àFj^ /h = o,i,...,n 

 '"'' dz/c \k= 1,2, ...,n 



ont des valeurs finies et qu'aucun des (« 4- i) déterminants fonctionnels 



ff^o, I, . . ., Il, excepté g=z m 

 /i = 1 , 2 , . . . , n 



ne s'annule en même temps que les n fonctions F^,,. 

 )) Cela posé, en désignant par 



X\00' ^10' •••' '^ no )' 



la caractéristique du système des fonctions Fp„, F,(,, . . ., F„p, et en faisant 

 usage de la notation très commode 



sgna = -t- I, o, — I, 

 selon qu'on a 



a'^o, a = o, a<^o. 



(') L'Académie décide que celle Communication, liien que dépassant les limites 

 réglementaires, sera insérée en entier 



