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diiit au même résultat, si l'on réussit à déterminer la valeur de l'intégrale, 

 qui exprime le nombre N dans l'éqiialion (IX). 



» Permettez-moi d'ajouter encore une remarque. Dans mes recherches 

 sur les systèmes de fonctions de plusieurs variables, j'ai été forcé de distin- 

 guer les systèmes de valeurs réelles communes à Ji équations selon leurs 

 caraclèristiqties. Cette distinction entre, il est vrai, dans toutes les formules 

 que j'ai développées dans mes divers Mémoires publiés sur ce sujet, prin- 

 cipalement dans la Note sur le théorème de Sturm que j'ai présentée moi- 

 même à l'Académie le 6 mai 1869 (voir t. LXVIII). Mais cette distinction, 

 bien loin d'être regrettable, me semble plutôt révéler la vraie nature 

 des choses, cachée jusque-là, parce qu'on s'est borné à considérer cette 

 espèce particulière de fonctions provenant des fonctions de variables com- 

 plexes, pour laquelle la caractéristique conserve toujours la même valeur. 

 Rien, peut-être, ne montre plus clairement la |)ortée de la distinction que j'ai 

 introduite, que la comparaison de la formule (VI) pour le cas /i = 2 avec 

 celle que vous avez citée dans votre Article du 16 novembre. Au lieu de 

 la restriction, nécessaire pour celle-ci, au cas particulier où A^ ne s'annule 

 pas dans le domaine G<|o, ma formule (VI) donne un résultat général, 

 mais en ajoutant une intégrale étendue sur le domaine (A^ = o, G <[ o), 

 qui n'existe pas dans le cas particulier. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Du nombre des racines communes à plusieurs 

 équations simultanées. Note de M. Emile Picard. 



« Quelques observations sur la Communication précédente me paraissent 

 nécessaires pour dissiper toute équivoque. Notre illustre Corresjjondant 

 dit qu'il avait été déjà conduit à déterminer complètement le nombre des 

 racines, communes an équations/", := o (j = i, 2, .... n), contenues dans 

 un domaine A. Tous les géomètres connaissent la formule fondamentale 

 par laquelle, au moven d'une intégrale multi])le d'ordre n — i étendue à 

 Va surface de ce domaine, il exprime la différence entre le nombre des ra- 

 cines pour lesquelles le déterminant fonctionnel D des fonctions/ est po- 

 sitif et celles pour lesquelles il est négatif ('). Si donc, on veut avoir le 



(') L'iinporlaiice du signe du déterminant fonctionnel dans cette théorie avait déjà 

 été signalée par Caucliy pour le cas de deux, variables (voir OEuvres de Cauchy, 

 !■■= Série, t. IV, p. 81). 



