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nombre exact des racines, il suffira de [)artager, au moyen de l'équation 

 D := o, le domaine A en plusieurs autres oii le déterminant fonctionnel a 

 un signe invariable. En appliquant à chacun de ces nouveaux domaines la 

 formule fondamentale, il suffira d'additionner les résultats pour avoir le 

 nombre cherché. C'est, en définitive, ce qu'a fait M. Kronecker dans ses 

 Communications .('"^^Jg et 1878) à l'Académie des Sciences de Berlin. On 

 a ainsi évidemment une solution du problème, mais il est impossible de 

 considérer cette solution comme satisfaisante. On doit, en effet, dans ce 

 problème, chercher à exprimer le nombre des racines par une formule 

 dont l'application numérique ne nécessite aucune discussion spéciale rela- 

 tive au système particulier des équations/^ o, et les intégrations à effectuer 

 doivent dépendre uniquement, au point de vue des limites, du domaine A : 

 c'est ce qui n'a pas lieu dans l'analyse de M. Kronecker qui est obligé de 

 partager le domaine A en plusieurs autres dépendant des équations parti- 

 culières que l'on a à étudier. J'ai pu arriver à réaliser ce desideratum en 

 ayant l'idée de considérer n -\- i équations convenables au lieu des n équations 

 proposées, et j'ai ainsi obtenu une formule oii la recherche du nombre des 

 racines est ramenée au calcul d'intégrales définies ne dépendant que du 

 domaine A. Ainsi, pour le cas de deux équations, la somme des inté- 

 grales (a) et (fi) de ma Communication du 16 novembre dernier donne 

 une solution qui me parait complètement satisfaisante. Elle renferme une 

 indéterminée s, et c'est en faisant e distinct de zéro et de l'infini, que l'on 

 na aucune difficulté dans l' application de la formule, par exemple dans 

 son application numérique ('). J'ai signalé, comme dignes d'être étudiés, 

 les cas limites de e = o, a := ao . Le premier, en particulier, m'a conduit 

 à des résultats très simples quand les équations sont algébriques et que 

 le contour est formé de segments de courbes unicursales. Dans sa lettre, 

 M. Kronecker considère particulièrement le cas de s ^ co (c'est le cas 

 qu'il appelle a z= Z* ^ co), et il montre que cette limite se ramène à l'in- 

 tégrale que lui avait donnée la méthode dont nous avons parlé au début. 

 Ce résultat est très intéressant, mais, à mon point de vue, il montre 

 simplement que le cas limite de e == co n'est j)as favorable au calcul effectil 

 du nombre des racines. 



» Les remarques qui précèdent n'ont assurément pas pour objet de di- 

 minuer l'importance des travaux de M. Kronecker dans cette question. La 



(') Ainsi ou pourra, par des métliodes connues, évaluer approx.iinalivement le 

 nombre cherché et, par suite, trouver sa valeur exacte, puisqu'il s'agit d'un entier. 



