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où R est un )3olynôme de quatrième degré 



R =PaX'' -{-p^x^ +p.,x'' -^ p^x -ir p^\ 



petq sont des polynômes entiers premiers entre eux. Dans le cas où q est 

 un polynôme de degré 1, p est de degré 1 -h 2. et m = 2(1 -\- 2). 



» La condition à laquelle ^doivent satisfaire les coefficients du poly- 

 nôme R pour que le polynôme q soit du degré 1 peut être représentée par 

 l'équation 



(^) 



ou 



o, 



t^-x- 





et D^(v'yOu) est une dérivation de l'expression y'/jj de l'ordre T.. 



» En calculant une dérivation D/(pQ,p,,p.,, . . .,p„), il faut suivre, en gé- 

 néral, les règles de la différentiation et prendre en considération les con- 

 ditions suivantes de la dérivation 



^Po=P,, 0p, = 2p,, D/?„=3/?3, ..., D/J„=(/l + l)yO„^,, 

 de sorte que l'on ait 



» Dans le cas considéré 



dp^ 



dp^ 



dpn 



» On peut bien voir qu'il existe un nombre infini de cas d'intégrabilité 

 de l'expression (i). 



» Les plus simples conditions sont les suivantes : 



(3) 



(4) 



1.2.3 



= o. 



a„a., — a. := o. 



a, oc. 



