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nilion, lait usage ilii mouvement et du cas particulier des groupes harmo- 

 niques. 



» Cependant, en appelant, comme le font MM. Cremona et Thomae, 

 projectives deux séries de points de deux droites dont l'une détermine 

 l'autre au moyen d'un nombre fini de projections, on peut parvenir au 

 théorème fondamental en question sans (aire usa^e de ces artifices. Il suffit 

 évidemment de parler de ces séries particidières, et, comme la démonstration 

 est stéréométrique, je supposerai toujours que les projections se font au 

 moyen tie (aisceau de plans. 



» Il s'agit premièrement de démontrer que, à l'exception du cas où les 

 deux droites pointées se trouvent dans un même plan, le nombre de projec- 

 tions peut être réduit à une. Cela se fait successivement en remplaçant deux 

 projections par une au moyen du théorème suivant : 



» Si cinq des sommets d'un quadrilatère plan et complet se trament sur de<t 

 droites données qui ne se rencontrent pas, aussi le sixième sommet se trouvera 

 sur une droite déterminée par les autres. 



» Dans la démonstration nous désignerons par a, h, c trois sommets 

 formant un triangle, cl les trois sommets opposés du (piadrilatère par rf, e,/. 

 Soient A, B, C, D, E des droites où se trouvent, lespectivement. les points 

 a. h, c, d, e. Alors nous démontrerons que lo lieu dey"est une droite F. 



» Projetons, à cet effet, la figure d'un point d'intersection de deux 

 droites dont l'une rencontre A, B, C, l'autre C, D, E. On trouve un point 

 de celte nature par l'intersection des droites joignant les traces de A et 

 B et de D et E dans un plan passant par C. Nous appliquerons aux pro- 

 jections sur un plan les notations déjà introduites pour re[)résenter les 

 droites et les points projetés et nous désignerons encore, dans le pian de 

 projection, par a' , b',c' les points où A, B, C rencontrent la droite def, et 

 par o le point d'inlerseclion de A, B et C. Alors les couples a' et d, b' et 

 e, c' et / seront les points où une transversale rencontre les couples de 

 côtés opposés du quadrigone complet aux sommets a, b, c, o. F'ar les deux 

 premiers de ces couples de points et par c' passent encore les couples de 

 côtés opposés A et D, B et E et le cinquième côté C d'un autre quadrigone 

 complet. 



» Le lieu du point / du plan de projection sera donc le sixième côté F 

 du même quadiigone. Ce lieu étant la projection du point /de l'espace et 

 plusieurs projections de la même nature pouvant être obtenues en variant 

 le centre de projection, le lieu cherché sera aussi une droite. 



» La propriété du quadrigone complet, dont nous avons fait usage ici. 



