( 'i'i' ) 

 une équation aux dérivées partielles d'ordre n, résolue par rapport à la dérivée 

 Pn-h.h' 'ià le second membre est holomorphe dans le voisinage des imleurs 



•^01 .)'i)' -^o> \Pia)(\> KPiM/it' ■■■< \Pn,D)o' \Pn—t,i)uf •••> \Po,a)ot 



et OÙ les dérivées partielles de la fonction F 



P P p 



'■ n.a< 'n— i.i» •••• i /j_A+-i,A— I 



sont nulles pour ces valeurs initiales. Soient, de plus, 



<^„{x), 9, (a;), .... 9/,-, (a:), 



h fonctions de x holomorphes dans le domaine du point x„, et telles que ion 

 ait, pour X = ic„, 



et de même 



n — h fonctions de y holomorphes dans le voisinage du point )'„, et telles que 

 l on ait, pour y =_7oî 



■J>A.V„)==„. [^*1. = (/'m)o. 



i^o, 1,2, . . ., n — Il — 1 , 

 i-\- kSn. 



» L'équation proposée (i) admet une intégrale régulière dans le domaine 

 du point (ar^, y^), et telle que l'on ait : 

 » Pour X = x„ , 



= = ^0(7). ô^=^'(y) ^pr^':^ =<{'«-A-.(r). 



et pour y =y„, 



» On a posé, dans cet énoncé. 



n — " V — 



dF 



» Pour la démonstration, on remarque d'abord que les données ini- 

 tiales font connaître les valeurs de toutes les dérivées partielles (/o,,a)o. pour 

 lesquelles l'indice i est inférieur à n — h, ou l'indice /• inférieur à h. Les 



