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 valeurs de toutes les autres dérivées partielles se calculent ensuite de proche 

 en proche par des additions et des multiplications seulement, de sorte que 

 l'on peut employer la méthode des fonctions majorantes pour établir la 

 convergence du "développement en série entière obtenu ainsi. On peut 

 aussi, sans diminuer la généralité, supposer x,=y, = o, et supposer que 

 les fonctions initiales cp et (j/ sont identiquement nulles. 



» Cela posé, on peut prendre pour fonction majorante de la fonction F 

 une expression de la forme 



M 



/ a:+r + S-^Plo-^----^Po.n-l\f, PM+---+ Pa-li^l.h-\ -h P„-l,-,, h+i + ■ ■ . -t- /'o/t \ 



(' ^^ -p )V~ R ^ 



M, p et R étant des nombres positifs déterminés. Si l'on remplace dans $ la 

 variable x par -, où a est un nombre positif inférieur à l'unité, on aug- 

 mente tous les coetficieiits et la nouvelle fonction est a fortiori majorante 

 pour F. Tout revient donc à démontrer que l'équation auxiliaire 



(2) Pn-/..n = '^i'{\y'='/>io, ■■■' p 



admet une intégrale holomorphe représentée par un développement en 

 série entière dont tous les coefficients sont réels et positifs. Or, si l'on 

 cherche une intégrale de cette équation qui soit fonction de la seule 

 variable x -h aiy = u, on est conduit à l'équation différentielle ordinaire 



où A et B sont deux nombres positifs, pourvu que a. soit assez petit, et où W 

 désigne une série entière, sans terme constant, dont tous les coefficients 

 sont réels et positifs. Cette équation admet une intégrale qui est nulle, 

 ainsi que ses n premières dérivées pour u = o, et dont tous les autres 

 coefficients sont positifs; le tliéorème énoncé est donc établi. 



» Cette proposition permet d'étendre aux équations d'ordre n la théorie 

 des caractéristiques. Soit(S) une surface intégrale d'uneéquationd'ordre/î; 

 on appelle caractéristiques les courbes situées sur cette surface, définies 

 par l'équation différentielle du premier ordre 



(4) P„„</y" - ÏV,.. dœcfy"-' + . . . ± P„,//.r« = o. 



