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M Au moyen du (liénrèiiie précétlciit, ou peut démontrer en toute 

 rigueur qu'il existe une infinité de surfaces intégrales, dépendant d'une 

 infinité de constantes arbitraires, ayant un contact d'un ordre aussi élevé 

 qu'on le voudra avec la surface (S) tout le long d'une caractéristique, 



dv 

 pourvu que -j— soit racine simple de l'équation (4). 



» Appliqué aux équations du second ordre, le théorèuie va plus loin 

 que le théorème rappelé au début de cette Note. Il en résulte en efïet que 

 deux courbes C et C, se coupant en un point O, déterminent une surface 

 intégrale, pourvu que l'une des deux courbes soit tangente au point O à 

 l'une des deux directions de caractéristiques de l'élément du second ordre 

 qu'elles déterminent. En |)arliculiei', une intégrale est complètement 

 définie si l'on se donne une caractéristique et une autre courbe quelconque 

 rencontrant cette caractéristique. » 



GÉOMÉTRIE. — Sur le problème de M. ISonriet. Note de M. C. Guichakd, 

 présentée par M. Darboux. 



« M. Bonnet a démontré que, si les lignes de courbure se conservent 

 dans la déformation d'une surface, la représentation sphérique des lignes 

 de courbure de cette surface est la même que celle d'une surface à courbure 

 totale constante. M. Bonnet a ainsi trouAétous les réseaux qui sont à la 

 fois O et C. Les qucslions les plus simples qu'on peut se poser dans cette 

 voie sont ensuite celles de la détermination des réseaux 2O tt C ou des 

 réseaux O et 2C. levais montrer que ces deux problèmes sont équivalents. 



» Soit A(.r, 0-^X3 ") nn point qui <lécrit un réseau O et2G; ce réseau 

 étant 2C sera applicable sur un réseau B( >, r^r^,)',) de res|)ace à quatre 

 dimensions; parmi les congruences harmoniques à A se trouveront des 

 congruences G qui sont 2O ; le réseau A él tut O, ces congruences sont C. 

 Les réseaux parallèles ;i la congruence G seront aOetC. 



» Inversement soit (i une congruence 2O et C ; A uu réseau O quel- 

 conque harmonique à G, A étant harmonique à une congruence 2 0seraC 

 ou 2C; en général il sera 2C : A sera donc O et 2C, ce qui établit l'iden- 

 tité des deux problèmes. 



» Si les réseaux A et B sont donnés, ou a facilement les congruences G; 

 elles correspondent à la solution 



= a ; , -1- a.Y-. -H m, Vj H- a , v , 



c. K., 1897, 2" Semestre. (T. C\XV, N- 18.) ^6 



