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» Comme la connaissance d'un réseau I permet de déterminer, à l'aide 

 de quadratures, deux surfaces isotherniiques, on peut encore dire : 



» Quand on connaît une congruence iO ctC, ou peut, à l'aide de quadra- 

 tures, seulement déterminer quatre surfaces isothermiques. 



» Par une autre méthode, je démontrerai que, réciproquement : 



» A tout réseau 1 est conjugué un système xi' de congruences G, qui sont C 

 et naturellement 2O. 



» Sur chacune de ces congruences G, se trouve un deuxième réseau O 

 qui est I. De là une première transformation, qui permet de déduire d'une 

 surface isothermique de nouvelles surfaces isothermiques. Ln théorie qui 

 précède en met d'autres en évidence : 



» Prenons, en effet, une congruence G qui est 2O et C; il v a x' 

 s\stèmes de réseaux harmoniques A qui sont O et 2C; à chacun de ces ré- 

 seaux sont harmoniques ce- séries de coni;ruences analogues à C. De là une 

 deuxième transformation des surfaces isothermiques, 



« Considérons enfin le réseau B de l'espace à quatre dimensions qui est 

 applicable sur le réseau A. Ce réseau est un réseau C ; il y a x' séries de con- 

 gruences H, harmoniques à B et qui sont O et naturellement C. Prenons 

 l'une de ces congruences et le système ce- de réseaux à B' qui sont O et har- 

 moniques à H. Ces réseaux B', harmoniques à une congruence O, seront en 

 général C, et par conséquent applicables sur un réseau A' de l'espace à 

 trois dimensions Ces réseaux A' sont donc et 2C, ce qui conduit à une 

 troisième transformation des surfaces isothermiques. 



» Enfin soit M(a-, y, =)un réseau 2 0etC; il est applicable sur un réseau 

 M.'{x',y',z'); ce réseau M' sera aussi 2O. En effet le point M est la projec- 

 tion du réseau 0{x, y, z, p) de l'espace à quatre dimensions; le point 

 {x , y', :■', p) décrira aussi dans l'espace à c[uatre dimensions un réseau O, 

 car de l'égalité 



dx- -+- dy- -+- dz- = dx'- +■ dy'- -f- dz'- 

 on déduit 



dx^ 



-h dy^- -h r/=- H- di^ = dx'' -I- dy- + dz" -f- r/p-. 



» Cette remarque donne une quatrième transformation ties surfaces 

 isothermiques. 



)> Certains des résultats qui précèdent s'étendent à l'espace à n dimen- 

 sions. Entre autres, le suivant : La recherche des réseaux O de l'espace à 

 n dimensions qui sont isothermiques est identique à celle des réseauv O de cet 

 espace qui sont applicables sur des réseaux de l'espace à quatre dimensions. 



