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M On peut reconnaître que, pour une fonction toujours égale à son 

 maximum (on à son minimum), il v a dans tout intervalle des points où 

 elle est continue, ce qu'on exprime en disant que c est une fonction 

 ponctuellement discontinue. 



» Je signale le théorème suivant, qui m'a été utile dans les recherches 

 exposées plus loin : 



» Une fonction, qui est toujours égale à son maximum, et qui a toujours 

 son minimum égal à zéro, atteint la valeur zéro pour une infinité de points 

 dans tout intenalle. 



» II. Il est facile de former un exemple d'une fonction de deux variables 

 X et r, déterminée pour tous les points du plan, toujours continue par rap- 

 port à chacune des deux, variables, mais discontinue en un point par rap- 

 port à leur ensemble. On peut prendre, par exemple, la fonction qui est 



égale à o pour les points de Ox et de Oy, et à —^- — ; pour les points situés 



x' + y- 



en dehors de ces axes. En tout point distinct de l'origine, la fonction est 

 continue au sens ordinaire; à l'origine, elle est encore continue par rap- 

 port à X et par rapport à y, mais elle éprouve une discontinuité si l'on 

 déplace le point x, y suivant une direction oblique. 



» En partant de cet exemple ou d'autres exemples analogues, il est pos- 

 sible de former une fonction qui sera toujours continue par rapport à 

 chacune des variables, et telle cependant qu'il n'existe aucune aire où elle 

 soit toujours continue par rapport à leur ensemble. Pour cela, rangeons 

 tous les points du plan dont les deux coordonnées sont rationnelles en une 

 suite simplement infinie a,p,,a^(!io, .... a„p„, .... Soit «a,p une fonction 

 telle que celle dont nous venons de parier, discontinue par rapport à l'en- 

 semble a;, y au point a, p et, de plus, inférieure en valeur absolue à im 

 nombre fixe. Si 1a„ est une série absolument convergente, 2a„«j^ «^^ sera 

 une fonction possédant les propriétés indiquées. 



» On est ainsi conduit à se poser les questions suivantes. En premier 

 lieu, si l'on assujettit une fonction de deux variables à être continue par 

 rapport à chacune d'elles, ces conditions entraînent-elles d'autres consé- 

 quences relativement à la manière d'être de la fonction? En particulier, la 

 succession de valeurs, prise par la fonction sur une courbe du plan, par 

 exemple sur la droite a? = y, consLitiie une fonction d'une variable cpii, 

 nous venons de le voir, n'est pas nécessairement continue; est-elle assu- 

 jettie à des conditions, et quelles sont ces conditions? En se plaçant au 

 point de vue opposé, on se donnera a priori une succession de valeurs sur 



