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X = Y, et l'on cherchera s'il est possible de former une fonction de deux 

 variables toujours continue par rapport à chacune d'elles et prenant sur 

 ce = V les valeurs données. 



» Je suis parvenu à résoudre en partie ces problèmes. En ce qui con- 

 cerne le premier point de vue, j'ai obtenu les théorèmes suivants : 



» Théorème A. — Si une fonction de deux variables, déterminée dans une 

 certaine région, est continue par rapport à chacune d'elles, il existe dans toute 

 aire des points en chacun desquels la fonction est continue par rapport à l'en- 

 semble des deux variables; en d'autres termes, la fonction est ponctuellement 

 discontinue par rapport à l'ensemble x, y. 



» Théorème B. — Dans les mêmes conditions, la succession des valeurs 

 prise par la fonction surx = y forme une fonction d'une variable qui est ponc- 

 tuellement discontinue. Ce résultat s'étend d'ailleurs à toute courbe décom- 

 posable en arcs sur chacun desquels x et y sont fonctions uniformes l'un 

 de l'autre. 



« Les démonstrations de ces théorèmes sont basées sur la proposition 

 que j'ai indiquée à la fin du paragraphe 1. 



» Pour traiter la seconde question, où l'on se donne à l'avance une 

 fonction d'une variable, il est naturel de suivre la marche suivante : étudier 

 d'abord les cas de discontinuités les plus simples, et chercher à ramener 

 les lonctious les plus générales à des types particuliers pour lesquels on 

 saura si le problème est possible ou non. En suivant cette voie, je suis 

 arrivé à démontrer que le problème est possible lorsque la fonction donnée 

 rentre dans l'une des catégories suivantes : 



» I" Les discontinuités de seconde espèce [c'est-à-dire celles pour les- 

 quelles f(x -\- o) et /"(a? — o) n'existent pas tous les deux] n'existent pas, 

 ou bien sont en nombre fini, ou bien ont lieu en des points formant un 

 ensemble dont le premier dérive est dénombrable. Ce théorème se lié- 

 montre par voie de récurrence, et en utilisant les résultats de M. Cautor 

 sur les ensembles. 



» u° La fonction n'a de discontinuités qu'en des points formant un en- 

 semble parfait, qui n'est condensé dans aucun intervalle, et de plus elle a 

 la même valeur en tous les points de cet ensemble. 



M 3° La fonction est une somme d'un nombre fini ou infini de fonctions 

 rentrant dans l'une des deux classes précédentes. 



» On n'obtient pas encore ainsi toutes les fonctions /7t»rtrtMe//e/72ert^û?i^co//- 

 tinues, de sorte que la question de savoir si la condition nécessaire que nous 

 avons trouvée est suffisante n'est pas complètement résolue. Je montre 



