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 est une différentielle exacte. On peut alors prouver l'existence d'une inté- 

 grale continue prenant sur vS des valeurs données, au moyen de la méthode 

 dite du balayage, inventée par M. l'oincaré à propos de Téqualion de 

 Laplace. Il faut, pour cela, faire subir à cette méthode des transformations 

 assez profondes, de manière à la réduire à ce qu'elle a d'essentiel et de 

 fondamental. Elle prend alors un caractère très général : plus n'est besoin 

 de faire appel aux propriétés particulières des potentiels newtonien ou 

 logarithmique, aucune différence ne sépare les cas de l'espace et du plan, 

 le principe de Dirichlet ordinaire et ses généralisations s'établissent con- 

 curremment. J'ajoute que la méthode du balayage, mise ainsi sous une 

 forme canonique, devient applicable à des problèmes très différents de 

 ceux qui sont considérés ici. 



» Une méthode de prolongement analytique, basée sur la méthode des 

 approximations successives de M. Picard, permet ensuite de passer, pour 

 toute valein- positive de la constante ç, du cas de l'équation linéaire à celui 

 de l'équation non linéaire 



AV + a^+6-+c-=çF(..,j,.,V). 



où F désigne une fonction donnée croissante avec V. Cette équation est, 

 d'ailleurs, la plus générale de celles qui régissent l'équilibre des tempéra- 

 tures à l'intérieur d'un corps isotrope hétérogène, contenant des sources 

 de chaleur et soumis à des causes de refroidissement. 



)) Dans la seconde Partie, je définis certaines fonctions que j'appelle les 

 fonctions harmoniques fondamentales attachées à une surface fermée. Ces 

 fonctions .sont les potentiels newtoniens de certaines couches de matière 

 attirante répandues sur S. 



)) Les fonctions fondamentales sont des généralisations, pour une sur- 

 face de forme quelconque, des fonctions de Laplace et de Lamé relatives 

 à la sphère et à l'ellipsoïde. Elles peuvent servir, comme ces dernières, à 

 former des séries de termes simples qui représentent la solution du pro- 

 blème de Dirichlet. La convergence de ces séries peut être rigoureu- 

 sement démontrée, dès que l'on admet l'existence de la fonction qu'il 

 s'agit de développer. On obtient ainsi une expression analytique explicite de 

 la fonction harmonique qui prend sur S des imleurs données. 



» Les séries dont je viens de jjarier permettent encore de reconnaître 

 que la méthode de Neumann pour la démonstration du principe de Dirichlet 

 réussit, quel que soit l'ordre de connexion de S. Elles procurent enfin un 



