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 >) Démonstration. — SoitG(a-) une fonction entière qui est égale à i à 

 l'origine. On suppose 



(,) |G(a;)|<«^-''-l'. 



» Désignons par x^, a., . . ., v.^ les zéros de G{x), et soit \y-p\ = ?p- On 

 suppose p|, p2- • • ?p rangés par ordre croissant. 



» Je pose 



H (œ) = {.T — «, )(.x — a., V . . (.r — a,,). 



» La fonction 

 étant entière, on peut écrire 



R étant arbitraire. Si | a; | > p^,, on a 



I H(.r) I Xl^i - ?p)(\x\ - Op^,)...(}.T\ _ p,; >(|:r I - ?,,)"• 



» Je pose l^-] = xpp, s étant un nombre positif plus grand que 2; donc 

 pour cette valeur de | a; | 



|H(a^)l>?,';(-^- ^y. 



» En prenant dans (2) R = ^p^,. on aura, à l'aide de (i), 



Pl?2- ■■?,, "^ PÎU'f— I)''' 



et a fortiori 



ou 



(3) />l»g(5-i)<V(5p,„). 



» Comme * > 2, le premier membre de cette inégalité est positif. 

 » L'application de l'inégalité précédente aux fonctions où 



V(^)=--Mx", 



Met a désignant des constantes positives, ne présente aucune difficulté. 

 On voit tout de suite que la série 



est convergente si i est positif. » 



