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j)our un point P situé sur la normale n, et supposons que ce point, en res- 

 tant toujours sur cette normale, se rapproche indéfiniment vers le point/». 

 Alors, si l'expression ci-dessus tend vers une limite, cette limite repré- 

 sentera ce que nous appellerons la dérwée normale de la fonction V au 

 point p. 



» Comme on le sait, la densité d'une couche électrique en équilibre 

 sur S ne difFère de cette dérivée que par un facteur constant. Donc, le 

 problème dont il s'agit se ramène à la recherche de cette dérivée, et celte 

 recherche ne me paraît pas avoir été faite à quelque condition que ce soit ( ' ). 



» J'ai donc cru utile de faire l'étude de cette question et, en partant des 

 méthodes de M. Neumann, je suis parvenu à la résoudre dans les suppo- 

 sitions suivantes : 



» i" La surface S est convexe en tous ses points; 



» 2° En tout point de cette surface il existe un plan tangent déterminé; 



» 3° y étant l'angle que fait la normale au point quelconque p de S avec 

 celle d'un autre point ^' de cette surface et A la distance mutuelle de ces 

 deux points, on peut assigner deux nombres positifs A et a indépendants 

 du choix des points^, p' et tels qu'on ait 



y<AA«, 



quelles que soient les positions de ces points. 



» Dans ces suppositions j'ai démontré rigoureusement la possibilité du 

 problème de la distribution électrostatique à la surface S. 



» Mais j'ai considéré aussi le cas général du problème de Dirichlet (tant 

 pour l'espace extérieur à S que pour l'espace intérieur) et j'ai recherché 

 les conditions pour qu'il existe la dérivée normale de la fonction V pour 

 tous les points de S. 



» En traitant cette question, je me suis fondé sur les résultats que j'ai 

 publiés à l'égard du potentiel de la double couche (Comptes rendus, 8 no- 

 vembre 1897). Par suite, outre les suppositions précédentes, j'ai dû faire 

 encore les suivantes : 



» 1° En tout point de S les sections normales de cette surface ont toutes 

 des courbures finies et déterminées; 



(') Je me permets de rappeler ici la belle étude sur la distribution de l'éleclricilé 

 faite par un géomètre d'un rare mérite, M. Gustave Robin, dont la Science déplore 

 la perte toute récente, élude qui a peut-être échappé à M. Liapounoff {Comptes 

 rendus, t. CIV, p. 1834). (.^ote de M. Emile Picard.) 



