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pose d'indiquer une classe d'équations auxquelles la mélhode de M. Dar- 

 boux est applicable, en faisant usage de systèmes plus généraux dont 

 j'ai indiqué ici même les propriétés fondamentales ('). 



» M. Drach, dans une Noie récenle, a montré qu'on pouvait toujours 

 ramener un système différentiel quelconque à être du second ordre et 

 à ne contenir qu'une seule fonction inconnue; je me bornerai donc à 

 ce cas. 



» Soit une équation aux dérivées partielles du second ordre 



f=o, 



à trois variables indépendantes; supposons qu'elle admette un groupe infini 

 de transformations G, dont la transformation infinitésimale générale ren- 

 ferme une fonction arbitraire de deux arguments et une fonction arbitraire 

 d'un seul argument; supposons, en outre, que le groupe G possède un 

 sous-groupe g, dépendant d'une fonction arbitraire de deu\ arguments, et 

 que g, renferme un sous-groupe g.^ dépendant de deux fonctions arbi- 

 traires d'un argument. 



)) Je dis que, daus^ces conditions, on peut intégrer l'équalion proposée 

 par des équations di(ïérenticlles ordinaires. 



)i Soient, en effet, a, [3, y, S quatre invariants différentiels quelconques 



du groupe G ; si l'on écrit 



9(a, [i, y, ^)— o, 



on pourra déterminer la fonction 9 de manière que 



y=r o et © = o 



aient une solution commune; à cause du degré de généralité de G, le 

 système précédent seia complètement intégrablc, et rp sera donnée par des 

 équations linéaires du premier ordre. 



» Si a,, B|,y,, S, sont quatre invariants différentiels de g^, on pourra 

 déterminer de la même manière la fonction '^(a.,, P,, y,, S,) de sorte que le 



système 



/■= o, = 0, 6 = 



soit complètement intégrable, ji étant déterminé par tles équations linéaires 

 et du premier ordre. 



(') Beldon, E.v tension de la méthode de Canchy, etc. {Comptes rendus, dé- 

 cembre 1896). 



