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est une diCférentielle exacte, M. Le Roy se préoccupe de démontrer la pos- 

 sibilité du problème. Ses mélliodes sont calquées sur celles qui servent à 

 établir le principe de Dirichlet; mais elles ne supposent pas ce principe 

 établi, sauf dans les domaines sphériques. 



» Après avoir démontré un théorème analogue à celui de Harnack, 

 M. Le Roy résout le problème pour une sphère et pour un domaine limité 

 par deux sphères concentriques. Il y arrive par une combinaison de la 

 méthode des approximations successives de M. Picard et du procédé al- 

 terné de M. Schwarz. Pour étendre le résultat à un domaine quelconque, 

 l'auteur se sert de la méthode du balayage, qu'il adapte à son objet nou- 

 veau par d'ingénieux perfectionnemenls. 



» Cette première Partie se termine par d'intéressantes propositions 

 relatives aux équations non linéaires. 



» Dans la seconde Partie de son Mémoire, l'auteur étudie des fonctions 

 qu'il appelle fondamentales et qui sont des potentiels de simple couche 

 satisfaisant, sur la surface attirante, à l'équation 



- -f- :t-, = XV. 

 an an 



» Ces fonctions ne sont pas identiques à celles que M. Poincaré a étu- 

 diées dans son travail sur la méthode de Neumann et qui satisfont à l'équa- 

 tion 



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mais elles peuvent se traiter de la même manière et avec un succès ana- 

 logue. 



» Il est à remarquer que, pour ces fonctions nouvelles, la démonstra- 

 tion peut s'étendre aux surfaces multiplement connexes, 



» M. Le Roy généralise ces fonctions et arrive à une classe très géné- 

 rale de fonctions fondamentales comprenant à la fois, comme cas particu- 

 liers, celles dont il vient d'être question et celles de M. Poincaré. 



» Il peut montrer ainsi que la méthode de Neumann est applicable aux 



surfaces multiplement connexes, ou à trouver la valeur de V, connaissant 



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~r- sur une suriace lermee. 

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» La troisième Partie est consacrée au refroidissement des corps solides. 



» Le cas où la surface est maintenue à une température constante peut se 



traiter à l'aide d'une ingénieuse généralisation de la méthode du balayage. 



