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 présente une lacune essentielle, que M. ,îuel m'a fait observer immédiate- 

 ment après la publication. Elle n'affecte ni le théorème que j'ai énoncé sur 

 le quadrilatère complet, ni la démonstration que j'en fais. La réduction du 

 nombre des projections reste donc indépendante du théorème fondamental 

 dont je cherchais une nouvelle démonstration. 



» Il en est autrement pour ma démonstration du théorème sur les droites 

 qui rencontrent trois droites fixes. En effet, pour l'établir, je fais usage de 

 l'involution des six points d'intersection d'une droite avec les côtés d'un 

 quadrigone complet. Il est vrai que von Staudt et ses successeurs démon- 

 trent au commencement de la Géométrie projective que cinq de ces points 

 en déterminent le sixième, ou bien que tous les six points d'intersection de 

 côtés homologues de deux quadrigones complets se trouveront sur une 

 droite qui en contient déjà les cinq; mais, que cette détermination reste en 

 vigueur si, dans un des quadrigones, on intervertit deux côtés opposés; 

 on n'en connaît aucune démonstration indépendante du théorème fonda- 

 mental qu'il s'agissait d'établir. Il ne m'était donc pas permis d'appliquer 

 le théorème sur l'involution à un cas de cette dernière nature. 



» Tout en regrettant d'avoir publié une démonstration incomplète, je 

 crois utile d'avoir attiré l'attention sur la question qui m'a occupé. Une 

 démonstration du théorème fondamental, indépendante des déterminations 

 de von Staudt, qui, à ia manière des déterminations métriques, ne s'éten- 

 dent que successivement et par des approximations infinies à tous les points 

 d'une droite, présentera plusieurs avantages, si elle est possible; et, si elle 

 ne l'est pas aussi, son impossibilité méritera une démonstration. >> 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur l' équation aux périodes . 

 Note de M. X. Stouff, présentée par M. Darboux. 



« Désignons par "k un nombre premier de la forme mp -4- i . Si l'on con- 

 sidère les périodes à p termes formées avec les racines V'^"'=' de l'unité, elles 

 sont racines d'une équation de degré m. Soit 



•■/■,'" -h A, •/■/"- ' + A,r,"'-- + . . . + Aa-/;'"-^ + . . . -f- A,„ = o 



cette équation. Le coefficient A^ peut s'exprimer comme fonction entière 

 rationnelle de m à coefficients rationnels et la formule est valable, sauf 

 pour quelques valeurs exceptionnelles de m en nombre limité, c'est-à-dire que 

 l'on peut assigner, pour chaque coefficient A^, une limite telle que, pour 

 toutes les valeurs de m supérieures à cette Hmite, la formule donne la va- 



