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 lionnées, en tenant compte de 



donnent de suite 



N 



soit 



(5) S"+'Cr) + S«-'(a;) = 40"(^). 



» Sans autre raisonnement, la soustraction des mêmes valeurs donne 



N 



S"^' (x) - S"-' (x) ^ 4 f\-'''s/„^, ds, 



les termes en/j_o s'étant détruits. On a, d'après (4), 

 (G) S"-'(^)-S'-'(^) = 2^^. 



» Les mêmes développements avec 0"*'(.r)et 0"~' (a;) conduisent sans 

 autre à 



N 



O"-' {x) + O"-' (x) = f'^e-'\s/„ +/,_, 4- s/„_, +/„_, ) ds, 



= "-/„_,+ •-!/„_, 



d'où 



(7) 0''*'(x)-^0"-'ix)^'^^^ + S"{x), 



N 



O"-' (x) - O"-^' (x) = f%-"{sf„_, +/„_, - V« - /«-, ) 



(8) 0'-'{x)-0"^'{x) = i-^- 



)) Donc : La représentation nouvelle des fonctions 0"{x) et S"(x) permet 

 de déduire d'une façon simple et rapide quatre de leurs propriétés princi- 

 pales {S), (6), (7) et (8). (7) est une nouvelle relation; à l'inverse de (5) 

 elle conduit des fonctions 0"{x) aux fonctions S"{x). Les trois autres sont 

 bien connues. 



» Ces quatre relations subsistent quand on dérive les équations suivant x. 



» Cette proposition se démontre aisément, d'abord par la formule (G). 



» D'après (4), on a 



N N N 



à^-^'i^) = _ 2 f%~-'sLds = - 4 re-^'s%_, ds - 2 re-''sj:,_, ds. 



ov Jd ■' Jo ___ y.) 



" ^ àx- àx 



ds. 



