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 «lans laquelle n désigne un grand nombre positif, entier on fractionnaire, 

 offre une importance spéciale parce que l'on peut ramener à cette forme 

 toutes les intégrales qui renferment un facteur élevé à une haute puis- 

 sance. Voici les théorèmes qui la concernent : 



» 1° L'intégrale I est prise le long d'un contour de seconde espèce par 

 rapport à z~a. — Le produitn^rt"! tend vers zéro, lorsque n croît indéfuii- 

 ment, q désignant un nombre fixe aussi grand que l'on veut ou, plus géné- 

 ralement, une quantité telle que le produit ?— 2»^ tende vers zéro lorsque 



n croît indéfiniment. 



» 2° L'intégrale I est prise le long d'un contour de troisième espèce par rap- 

 port à un point a. - T,a valeur asymptotique de lest intimement liée à la na- 

 ture du développement de f{z) dans le voisinage de a. Nous examinerons 

 le cas oïl ce développement est de la forme 



dans lequel i^{z ) désigne une fonction analytique finie dans le domaine du 

 point a\ les /des entiers positifs ou nuls, les a des exposants entiers ou 

 fractionnaires xérifiant les inégalités — i < x, < x. <. . .< a,, < a; les A 

 des constantes choisies de façon que l'on doive partir du point a, sur le 



contour, avec l'argument de - — i le plus petit en valeur absolue. 



» Posons 



et 



I = A, B, -t- A. B. + . . . + A,, B;, 4- Ra- 



,« /la+i 



» On démontre que le produit j^„~jr^^ ^a ne dépasse pas une certaine li- 

 mite lorsque n croit indéfiniment; d'autre part, pour n très grand, B^ est 



(') On peut développer B/, suivant les puissances descendantes de n en partant de 

 l'expression 



V{n+p)~ v/2TTC'-"«" "'' '-U-^ -^^V^ <r&p{p-^)]-^.--\, 



qui jouit de la propriété de pouvoir être dilTérenliée terme à ternie par rapporta p. 

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