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 de l'ordre de — - °^'V^ - H s'ensuit que I est décomposé en un nombre fini 

 de termes tels que le rapport d'un terme au précédent tend vers zéro avec 

 -• En prenant comme valeur approchée de I un certain nombre de ces 



termes, on commet une erreur de l'ordre du premier terme négligé et cette 

 valeur approchée tend asymptotiquement vers I quand n croît sans limite. 



» 3° Le contour C est de première espèce par rapport à un point singulier a 

 de f(^z). — J'ai déjà énoncé le théorème qui correspond à ce cas dans un 

 Mémoire concernant le développement approché de la fonction perturba- 

 trice ('), théorème qui fournit la valeur asymplotique de I, que n soit entier 

 ou fractionnaire, lorsque le point singulier o est d'une nature analogue à 

 celui que nous avons considéré à propos du développement (t). 



» De cette proposition découlent les résultats obtenus avant moi par 

 M. Darboux et M. Flamme, et ceux auxquels M. Ferraud est arrivé récem- 

 ment, sur le même sujet, dans sa Thèse, en supposant n entier. 



» Les coefficients des puissances de -, dans les développements asym- 



ptotiques fournis par les théorèmes qui précèdent, sont des polynômes 

 en Log/z. Lorsque les /• sont négatifs, ces coefficients deviennent des séries 



semi-convergentes procédant suivant les puissances <^e jj-^- 



» Ces théorèmes donnent lieu à des applications extrêmement nom- 

 breuses. Je me contenterai li'en citer une qui est relative à l'évaluation 



approchée de l'intégrale J = / f{"-) ?"(^) (^^• 



» M. Darboux, étendant un résultat dû à Laplace, a obtenu la valeur 

 approchée de cette intégrale dans les conditions suivantes : i° on peut faire 

 passer le contour d'intégration par une racine s = a de <s^'{z) ne coïncidant 

 pas avec une des extrémités de ce contour et dans le voisinage de laquelle 

 /■(s) et 9(^-;sont holomorphes ; 2° |(p(-)l prend sa plus grande valeur 

 pour s = fl le long du nouveau contour. 



» Le théorème énoncé ci-dessus, dans le cas oii le contour de l'intégrale I 

 est de troisième espèce, m'a conduit à la valeur asymptotique de J lorsque, 

 la racine z = a coïncidant avec une extrémité du chemin d'intégration, les 

 autres conditions posées par M. Darboux sont remplies. 



» En écrivant ç, cp", ... a la place de 9(a), ç'^^)» •••;/,/',.••. à la 



(') Journal de âJalhéniatiques pures et appliquées, p. 39^ à 402; 1894. 



