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 réseau A sera à la fois O el (p -h i)0. On voit comment le problème posé 

 se rattache au problème de Ribaucour. En particulier : 



)) Tout réseau O et "iO est associé à un réseau plan, et inversement. 

 » Cherchons d'abord les réseaux plans qui sont associés à des réseaux 

 plans. Soient 



A= du'' + B- dv- et A- U" du- -)- B- V- dv- 



les ds- des deux réseaux, cp l'angle d'une tangente au premier réseau avec 

 une direction fixe, >]; l'angle analogue pour le second réseau. On sait que 



l'on aura 



d<f I (^A Ja I dH 



du B dv di' A du 



donc 



(3) 



du~ 'BXdi'^^^^' dv~ AV du'^'^^ '>' 



di> _ U d'? 

 du V du 



à± _Y^à^ 

 àv ^ 1} dv' 



t)'6 

 » En égalant les deux valeurs de , — 5- on trouve 



° du dv 



^•^J du'dv I U^ V^J ^ \' du U' dv ~ "• 



» En faisant, ce qui est permis quand U ou Y ne sont pas constants, 



l'équation (3) devient l'équation E f — -> — - j = o. 



« Cherchons maintenant les réseaux de l'espace associés à un réseau 

 plan. Le réseau sphérique parallèle sera associé à un réseau plan. Soit alors 



ds- --= A- U- du- + B^ V- dv"" 



le ds- d'un réseau sphérique. En écrivant que la courbure totale est égale 

 à un et en tenant compte des formules (2), on trouve 



.,x Z^fj Ll ^ X!^ _ :^^ AR_ 



W^ dudvliy^ V^J ■ \' du u^ dv '^ ■ 



