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 tèmes de coordonnées rectangulaires dont l'origine commune O est un 

 point de la ligne de terre OX = OX,. Soït/(.v,y-) = o l'équation d'une 

 courbe donnée en V dont la ligne de terre est axe de symétrie. Représen- 

 tons par PQ la normale en un point quelconque P de cette courbe C et 

 déterminons en H, sur la normale en Q à la ligne de terre, de part et 

 d'autre un point P,, de manière qu'on ait PQ- -i- QP^ = r'', rétant donnée. 

 Alors P, est le centre d'une sphère h rayon r, bitangenle à C. Si P parcourt 

 la courbe C, le point P, décrit en H une courbe /,(-x,,y',) = o, doul la 

 ligne de terre est axe de symétrie, formant un lieu de centres de sphères 

 à ravon r bitangeutes à C. Et évidemment le rapport entre la nouvelle 

 courbe C, et la courbe originale C est réciproque. 



« En posant QP, -- — i.PQ, on trouve r= o. Dans ce cas spécial, les 

 courbes /(x, y-) = o et Ji(x,,y-J — o sont des courbes focales l'une de 

 l'autre. On passe de l'une à l'autre à l'aine de la transformation réversible 



.r, -^^ .r --- yy' , y, — iysji -+-y"', 



où, comme d'ordinaire, y' désigne la dérivée de y. 



» Ainsi, dans le cas d'une courbe quelconque en V dont la ligne de terre 

 est axe de symétrie, on trouve une focale plane en H par les trois opéra- 

 tions consécutives suivantes : 



» 1° Mettre debout les normales do la courbe donnée en les faisant 

 tourner autour de leurs pieds dans l'axe jusqu'à la position perpendicu- 

 laire à l'axe; 



» 2° Multiplier par y — i les ordonnées du lieu des extrémités des nor- 

 males érigées; 



» 3° Tourner la nouvelle courbe en entier d'un angle de go° autour de 

 l'axe, de manière à la transporter en H. 



» On applique sans peine les trois opérations indiquées à l'exemple 

 classique des deux courbes focales réelles du faisceau tangentiel de qua- 

 driques confocales. De même on retrouve les résultats connus se rapjjor- 

 tant aux quartiques bicirculaires à un ou à deux axes de symétrie (spi- 

 riques). En général, pour les courbes rationnelles, la difficulté de la 

 recherche se réduit à l'élimination d'un paramètre entre deux équations 

 algébriques. Par exemple, la parabole romi-cubique "iay-^^.x^ fait 

 trouver <^{x\ + J^)" -i- '2■ax^ {x'^ -H <^y\) + ^^<i'y\ = o, une quartiquedont 

 l'origine est aussi un point de rebroussement et qui touche la droite à 

 l'infini de son plan aux points cycliques. 



» En général, une courbe plane a autant de focales planes qu'elle pos- 

 sède d'axes de symétrie. Ainsi l'astroïde en a quatre et, en général, l'hypo- 



