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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les périodes des intégrales doubles. 

 Note de M. H. Poixcaré. 



« Je considère l'intéerrale double 



J = 



r rPd.rdy 



.1 J 7r=i' 



où P el F sont deux polynômes entiers en .r et y, et où z est un paramètre 

 arbitraire. 



» Considérons, d'autre part, l'intégrale simple 



/ = 



\dy' 



Dans cette intégrale simple, je suppose que v est lié à x par la relation 

 algébrique 



où / est un autre paramètre arbitraire. Ainsi y est une intégrale abélienne 

 relative à la courbe algébrique F = /. 



» Soit to une des périodes dey; cette période sera une fonction de i, et 

 l'on sait que cette fonction lo satisfait à une équation différentielle linéaire 

 dont les coefficients sont des polynômes entiers en t. 



» Soit 



(■) lU,^-" 



cette équation; n^ est un polynôme entier en f. 



» L'ordre de l'équation (i) sera égal au nombre des périodes, c'est- 

 à-dire à ip, en appelant /> le genre de la courbe F ^ ;. 



» Soient 



/., /,, ..-, fy 



les points singuliers de l'équation (i), c'est-à-dire les racines distinctes du 

 polynôme H,^. 



» Alors les périodes Q de l'intégrale J seront représentées par la for- 



