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CORRESPONDANCE. 



GÉOMÉTRIE INFINITESIMALE. — Sur le problème de Ribaucour. 

 Note de M. C. Guichard, présentée par M. Darboux. 



« Je vais établir, dans cette Note, l'équivalence des trois problèmes 

 suivants : i° recherche des réseaux C,C; 2° des réseaux 2O, 2O; 3° des 

 réseaux O, 30. 



» Rappelons d'abord quelques résultats connus sur les congruences C, C ; 

 une telle congruence est axe d'une infinité de cercles normaux à une série 

 de surfaces; les cosinus duecteurs ^,, ?o, ^3 de la droite de la congruence, 

 après multiplication par un facteur convenablement choisi, sont solutions 

 de l'équation 



\ ■' Ou àv 



et l'on a 



(2) P + E^ + q=U + V 



[M. BiANCHi, Sopra alcune nuove ctassi di superficie (Annali di Matematica, 

 t. \VIII)j. 



)) Prenons une congruence 2O; elle est conjuguée à deux séries de 

 réseaux O parallèles. Si M et M' sont deux de ces réseaux appartenant à 

 des séries différentes, les tangentes de ces réseaux se rencontrent en A et B : 

 la droite AB décrit une congruence C ; le cercle correspondant a pour axe AB 

 et passe par M et M'. Si la congruence est 2O de deux manières diffé- 

 rentes, il y aura deux nouvelles séries (N), (N') de réseaux O conjugués; 

 soient R, S les points d'intersection des tangentes aux réseaux (M) et (N). 

 La congruence RS harmonique aux réseaux (M) et (N) est cyclique; 

 d'ailleurs les cercles qui ont pour axe RS et qui passent par M et N sont 

 distincts; donc la congruence RS est C,C; donc : 



» Chaque congruence 2O, 1O permet d'obtenir quatre congruences C, C. 



» Inversement, soit RS une congruence C, C; sur deux des cercles cor- 

 respondants, prenons arbitrairement des points M et N qui décrivent des 

 réseaux O, harmoniques à RS. La droite MN décrit une congruence, con- 

 juguée aux réseaux (M), (N); comme les triangles MRS, NRS ne sont pas 

 égaux, celte congruence M est 2O, 2O. 



