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et p = const. deux familles de courbes formant un réseau plan. Suppo- 

 sons que l'on considère les valeurs d'une fonction /(or, y) sur la courbe 



a = a„; les dérivées ^^, -^> ■ ■ ■ de/, supposée exprimée en fonction de oc 



et de p, sont les dérivées extérieures première, seconde, 



» Pour la détermination des intégrales sur les caractérisques, j'ai dé- 

 montré le théorème suivant : 



» Toute intégrale d'une équation linéaire aux dérivées partielles d'ordre n 

 est définie quand on donne : 



» i" Sur une caractéristique d'ordre p les valeurs de la fonction inconnue z 

 et de ses n — p — i premières dérivées extérieures (en tout n — p fonctions); 



» 2° Sur une courbe quelconque coupant ta caractéristique en un point non 

 singulier les valeurs de z et de ses p — i premières dérivées extérieures 

 (p fonctions). 



» Ces fonctions initiales, supposées analytiques, peuvent être choisies arbi- 

 trairement. 



» J'avais démontré cette proposition, il y a quelque temps, en me ser- 

 vant de la méthode d'approximations successives. Dans une Note récente 

 {Comptes rendus du 2 novembre), M. Goursat a donné une proposition plus 

 générale renfermant la précédente comme cas particulier. 



» En m'appuyant sur ce théorème j'ai étendu aux équations d'ordre 

 supérieur au second la notion d'intégrale principale, dans le cas des carac- 

 téristiques simples et même, sous certaines conditions, dans le cas des 

 caractéristiques multiples. 



» Je dis qu'une intégrale z(x,y,cf.), dépendant du paramètre oc, est 

 principale, s'il existe une fonction ô (non constante) telle que l'expression 





f(oi) z(x,y, oc)f/oc 



satisfasse à l'équation considérée, quelle que soit la fonction /(a). On 

 reconnaît tout d'abord que 6 doit être line fonction caractéristique. 

 Prenons-la comme variable indépendante; soit par exemple % = x. Sur la 

 caractéristique x = oi, supposée simple, les valeurs de z et de ses n — 2 

 premières dérivées extérieures, considérées comme fonctions de y, devront 

 satisfaire à certaines équations différentielles linéaires du premier ordre 

 que j'ai formées. Mais on obtient encore des relations plus simples pour 

 les itltégrales principales holomorphes en procédant de la manière 

 suivante : 



