( 10I7 ; 



» Soit 



(i) '{x,y, x)^u„{x, y)-\ j — u,{x,y)^ !-y-^— «.(a;, v)+.... 



La connaissance de n — i premiers coefficients u„, u,, ii.,, ... équivaut à 

 celle des fonctions initiales précédemment indiquées et les équations qui 

 les déterminent se déduisent de l'équation proposée par des dérivations 

 symboliques analogues à celles que j'ai déjà considérées dans mon Mé- 

 moire sur les équations du second ordre. 



» Une intégrale principale relative à une variable caractéristique simple 

 dépend d'une fonction arbitraire. On achève de la déterminer en donnant 

 sa valeur sur une courbe quelconque. 



» Lorsque toutes les caractéristiques sont simples on peut, d'une infi- 

 nité de manières, calculer un système de n intégrales principales 



r Y r 



Si I sj> • • • 1 -sa 



relatives chacune à une variable caractéristique, et l'intégrale principale 

 se représente par la formule suivante, où je désigne par E,, E2, • • •. E/t les 

 variables caractéristiques 



(2) z.=^^^ fi{a.%{x, y, r^) <!■>., 



les limites inférieures des intégrales étant des constantes arbitraires. 

 Lorsque le développement (i) de l'intégrale principale est limité, le terme 

 correspondant de la formule (2) peut s'intégrer sous forme finie et s'ex- 

 prime linéairement à l'aide d'une fonction arbitraire de la variable carac- 

 téristique considérée et des dérivées de cette fonction en nombre déter- 

 miné. 



» J'appelle cette forme d'intégrale partielle la forme d'Euler. 



» La forme (2) met en évidence les principales propriétés analytiques 

 des solutions, particulièrement en ce qui concerne les singularités acci- 

 dentelles. 



» Parntii les diverses propositions que j'en ai déduites, je signale la sui- 

 A'ante : 



» Dans le voisinage d'une caractéristique singulière accidentelle, l'inté- 

 grale ne peut pas, en général, être uniforme. En particulier, pour que la 

 singularité accidentelle puisse être de forme polaire, il faut et il suffit que 

 l'intégrale partielle relative à la caractéristique considérée appartienne 

 à la forme d'Euler. » 



