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» Nous leviendrons sur le rôle et l'intégration de ces systèmes, dont les 

 systèmes canoniques sont un exemple. Le fait essentiel est que les équations 

 qui en définissent l'intégrale générale représentent une famille de transfor- 

 mations du groupe infini considéré, ce qui indique, en quelque manière, 

 comment les constantes arbitraires y doivent figurer. Les résultats de 

 M. Lie sur les groupes infinis du plan permettent de traiter complètement 

 le cas où n est égal à i. 



» 2. Une autre généralisation des équations de Lie se rapporte aux 

 équations aux dérivées partielles du premier ordre quelconques. Elle 

 repose sur cette remarque que, l'équation considérée étant mise sous la 

 forme 



(7) /' + W(a7,a7 x,„ z, p Pn) = o (p=-r^, p, 



les équations différentielles des caractéristiques peuvent s'écrire 



'^^■> dx ~ Opi' dx~ZàP'()pi ^^'' dx~ dxi l'' dz' 



1 = 1 



ce qui représente, pour chaque valeur de x, une transformation de contact 

 infinitésimale, avant précisément W pour fonction caractéristique. 



» On aura donc deux cas pHrticuliers remarquables à considérer. 



» Supposant d'abord que toutes ces transformations infinitésimales de 

 contact appartiennent à un même groupe continu fini, défini par certaines 

 fonctions caractéristiques linéairement indépendantes 



(9) W^{x,, ...,x,„z,p p„) (^-=1,9. /•), 



on aura des équations de la forme 



r 



pour lesquelles les équations (8) des caractéristiques seront des équa- 

 tions de Lie. 



» L'intégration de ces équations (10) se ramènera donc, dans des cas 

 très étendus [toutes les fois, en particulier, que le groupe (9) sera transitif], 

 à l'intégration d'équations différentielles ordinaires linéaires. 



» On peut aussi supposer que toutes les transformations infinitésimales 

 de contact, ayant pour fonctions caractéristiques celles qu'on obtient en 

 donnant à x toutes les valeurs possibles, dans la fonction W de l'équa- 



