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tion ('7), appartiennent à un même e^ronpe continu infini, et l'on sera 

 alors ramené aux systèmes que nous signalions plus haut. 



« 3. Je profite de l'occasion pour signaler ce résultat, implicitement 

 contenu dans mes recherches antérieures, que l'intégration d'un système 

 de Lie (3) dépend uniquement de l'intégration d'équations différentielles 

 linéaires ordinaires, toutes les fois que l'on connaît les équations de défi- 

 nition des équations finies du groupe (2) qui v figure. » 



MÉCANIQUE. — Sur les positions d'équilibre instable. 

 Note de M. P. Paislevé, présentée par M. E. Picard. 



« L'étude de l'instabilité, dans le voisinage d'une position d'équilibre où 

 la fonction de forces n'est pas maxima, a fait, comme on sait, l'objet des 

 travaux de M. Liapounolf et plus récemment de M. Kneser et de M. Ma- 

 damard. Je me propose d'étudier ici, en me limitant aux systèmes à deux 

 paramètres, des cas importants qui échappent à la discussion de ces divers 

 auteurs. 



» Soient x, y les deux paramètres, tJ(j:, y) la fonction de forces, 2T la 

 force vive du système. Je suppose qUe, dans le voisinage de la position 

 d'équilibre isolée x ^ o, y =^ o, la fonction de forces soit dii second ordre 



U = oLX- -{- 2.ffixy -h y y- -I- . . . (a- -h p' -f- y^ :^ o). 



» Si p- — ay est différent de zéro, l'équilibre est stable ou instable, sui- 

 vant que U est maxima ou non, ainsi que l'a montré M. Liapounoff par la 

 considération des trajectoires asymptotiques à l'origine. Mais si 



»2— av= o, 



la discussion de M. J^iapounoff est en défaut. Je vais montrer que, clans ce 

 cas encore, quand U n'est pas maxima, l'équilibre est instable. 



n On peut toujours choisir x, y, de façon que dans le domaine des 

 valeurs .r = o, y = o, x' = o, y' = o, les équations du mouvement soient 

 de la forme 



ic"(n-. . .) =>..x- -+-. . .. 



y"(i +...) = y. y -+- 



1 étant nul avec P'^ — ay. Si une des quantités >., [i. est positive, il existe des 



