( I052 ) 



trajectoires asvm|>totiques à l'origine : l'équilibre est instable. Le seul cas 

 à considérer est donc le cas : >, = o. ;j. < o. 



). Traçons dans le plan ccOy un cercle C ayant l'origine comme centre 

 et de petit ravon p. Soit A l'aire intérieure à C où U est positif; A est limité 

 par une courbe ayant un rebroussement à l'origine ou par deux courbes 

 tangentes eu O à O^. Le rayon p tle C étani pris suffisamment petit, je dé- 

 montre le théorème suivant : 



» Soient (.Xg, r„) nu M„ un point de l'aire A. et T„ une valeur de T telle 

 que la quantité A = To — U„ soit négative. Dans tout mouvement répondant à 

 ces conditions initiales, le point M ou (or, y) sort du cercle C. [.'équilibre est 

 donc instable. 



» On peut compléter ce théorème par les suivants : 



» i" M„ étant pris dans A et T,, étant moindre que Uo , on peut disposer de la 



direction ^ de la vitesse initiale de façon que le point M ou {x, y) atteigne, 



au bout d'un temps fini, la courbe U + A = o {avec une vitesse nulle) et rétro- 

 grade ensuite sur sa trajectoire. 



» 2° 5/l"„ — Uo, le point M ou bien sort de C au bout d'un temps fini, ou 

 bien tend vers o, quand t croît indéfiniment. Il existe dans A au moins une 

 trajectoire asyrnptotique à l'origine, mais il peut n en exister qu'une. 



» Le raisonnement précédent n'est en défaut que si la surface 



z^'[]{x,y) 



est tangente au plan s = o le long d'une certaine courbe |)assant par l'ori- 

 gine, mais reste au-dessous de ce plan dans le voisinage de l'origine. Je 

 n'ai pu démontrer, dans ce cas, que l'équilibre soit nécessairement in- 

 stable, bien que la chose soit très vraisemblable, mais la position d'équi- 

 libre O nVst pas alors isolée. J'ai donc bien établi la pro[)osition énoncée : 



» Si dans le i^oisinage d' une position d'équilibre isolée, x = o, y ^ o, U est 

 du second ordre en r, y, pour que la position soit stable, il faut (et il suffit) 

 que U soit maxima. 



» Considérons maintenant un cas tout différent, celui où IJ {x, y) com- 

 mence par des termes d'ordre (m^ 2), mais où toutes les tangentes réelles à 

 l'origine de la courbe U ^ o sont distinctes. La fonction U n'étant pas 

 maxima, deux hv})othèses sont possibles : U est minima ou U n'est ni 

 maxima, ni minima. 



» L U est minima. — J^'équilibre est instable. Ce cas a déjà été traité tout 



