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clififéremment pnr M. Liapounoff. Mais on peut énoncer de plus les propo- 

 sitions suivantes : 



» C étant un cercle <ln ])lan xOy ayant l'origine comme centre et de 

 rayon p suffisamment petit, et M„ un point donné intérieur à C : 



» i"SjTo-<U„, tout mouvement repondant à ces conditions initia/es em- 

 porte le point M hors du cercle C au bout d'un temps fini. On peut, de plus, 

 disposer de la direction initiale de la vitesse de façon que M attei^jne, au 

 bout d'un temps fini (avec une vitesse nulle) la courbe U -f- /« = oetre/ro- 

 grade ensuite sur sa trajectoire. 



» 2" Si To = U„, le point M ou bien sort de C, ou bien tend vers O 

 quand / croît indéfiniment; M„ et To étant donnés, on peut disposer de la 

 direction initiale de façon que M tende vers O sans jamais l'atteindre. // 

 passe donc par chaque point de C au nwins une trajectoire asymptotique à 

 l'origine. 



» 3° Si T„> U„, on peut disposer de la direction de la vitesse initiale de 

 façon que M atteigne l'origine en un temps fini. 



» Ces trois propositions ont été établies différemment par M. Knescr, 

 dans le ras jiarticulier du mouvement d'un point libre dans lui plan, et en 

 supposant de plus m -=^ i. 



» II. \} n'est ni maxima ni minima. — Soit OL une des demi-brnurbes 

 réelles de la courbe U = o issues de l'origine et tracées dans un certain 

 sens. Ces r>.X- branches {k>\) décomposent l'aire du cercle C en 2Z: aires 

 où U est alternativemeat positif et négatif. Soient A,, A^, .. ., \^ les k aires 

 oùU est positif. J/aire A,, par exemple, est comprise entre les deux demi- 

 branches OT.,, OLo; un changement de variables qui transforme OL, et 

 01/2 en deux demi-droites permet de démontrer bien simplement le théo- 

 rème suivant (qui suppose le rayon 3 de C pris suffisamment petit) : 



» Le point M„ étant un point donné de l'aire A,, si l'on a To<[ Uo, dans 

 tout mouvement répondant à ces conditions initiales, le point M sort de C. 

 L'équilibre est donc instable. De plus, on peut disposer de la direction initiale 

 de la vitesse de façon que T s'annule au bout d'un temps fini et que M rétro- 

 srradi' sur sa tra'ecto're. 



o <l 



n Si l'on a T„ = Uq, /e point M sor-l de C ou bien tend vers O quand t cr-oît 

 indéfiniment. Il existe au moins une trajectoire asymptotique à l'origine dans 

 l'aire A, , donc en tout au moins k trajectoires asyrnplotiques à l'origine. Mais 

 il peut n en exister que k seulement. 



» I.a méthode s'étend (avec quelques complications) à un nombre quel- 

 conque de variables. En particulier, si U est du second ordre dans le voi- 



C. R., 1897, •-'' '^eme^tre. (T. C\.\V, N" 24.1 ) '1') 



