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» L'analyse de ces équalions fournit un ensemble de résultats impor- 

 tants que nous ferons connaître ultérieurement. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les périodes des intégrales doubles 

 de fonctions algébriques. Note de M. Emile Picard. 



« Dans mon Mémoire sur les fonctions algébriques de deux variables 

 (Journ. de Malh.; 1889), j'ai commencé l'élude des périodes des intégrales 

 doubles et montré notamment comment la considération de certaines 

 équations différentielles linéaires à coefficients rationnels se rattachait à 

 cette question. Dans le premier volume d'un Ouvrage sur la Théorie des 

 fondions algébriques de deux variables que j'ai publié l'été dernier avec le 

 concours de M. Simart, je suis revenu succinctement (p. 107 et suiv.) sur 

 cette étude dont j'ai réservé le développement pour le Tome second. 



» Dans le dernier numéro des Comptes rendus, M. Poincaré vient de 

 s'occuper des périodes de certaines intégrales doubles de formes particu- 

 lières. L'article de notre éminent confrère donnant un intérêt d'actualité 

 à des recherches de ce genre, je ne crois pas inutile de rappeler le point 

 de vue auquel je m'étais placé dans la théorie générale et la façon dont 

 j'ai obtenu les périodes des intégrales doubles de fonctions algébriques. 



» Partons d'une surface algébrique n'occupant pas une position spéciale 

 par rapport aux axes 



(i) /("^.J.zj-^o. 



» On sait qu'il suffit, pour la théorie générale, de supposer qu'elle a 

 pour singularités une ligne double avec des points triples; nous nous bor- 

 nerons, pour prendre le cas le plus simple, à considérer une intégrale 

 double 



^Q{a:, y, z)dxdY 



fP 



A 



de première espèce, où Q est un jjoljaome. On établit d'abord que tout 

 cycle à deux dimensions de la surface / peut être obtenu en prenant un 

 cycle linéaire de la surface de Riemann correspondant à la relation algé- 

 brique entre x el z 



où y est regardé comme un paramètre, et en considérant le continuum à 



